Raisonnement par récurrence

En mathématiques, le raisonnement par récurrence est une forme de raisonnement visant à démontrer une propriété portant sur tous les entiers naturels. Le raisonnement par récurrence consiste à démontrer les points suivants :

• La propriété est satisfaite par l'entier 0 ;
• Si cette propriété est satisfaite par un certain nombre entier naturel n, alors elle est satisfaite par son successeur, c'est-à-dire par le nombre entier n+1.

Une fois cela établi, on en conclut que cette propriété est vraie pour tous les nombres entiers naturels.

Présentation

Le raisonnement par récurrence établit une propriété importante liée à la structure des entiers naturels : celle d'être construits à partir de 0 en itérant le passage au successeur. Dans une présentation axiomatique des entiers naturels, il est directement formalisé par un axiome. Moyennant certaines propriétés des entiers naturels, il est équivalent à d'autres propriétés de ceux-ci, en particulier l'existence d'un minimum à tout ensemble non vide (bon ordre), ce qui permet donc une axiomatisation alternative reposant sur cette propriété.

Certaines formes de ce raisonnement se généralisent d'ailleurs naturellement à tous les bons ordres infinis (pas seulement celui sur les entiers naturels), on parle alors de récurrence transfinie, de récurrence ordinale (tout bon ordre est isomorphe à un ordinal) ; le terme d’induction est aussi souvent utilisé dans ce contexte. Le raisonnement par récurrence peut se généraliser enfin aux relations bien fondées. Dans certains contextes, logique mathématique ou en informatique, pour des structures de nature arborescente ou ayant trait aux termes du langage formel sous-jacent, on parle de récurrence structurelle.

On parle communément de récurrence dans un contexte lié mais différent, celui des définitions par récurrence de suites (ou d'opérations) à argument entier. Si l'unicité de telles suites se démontre bien par récurrence, leur existence, qui est le plus souvent tacitement admise dans le secondaire, voire les premières années universitaires, repose sur un principe différent.

Histoire

L'histoire des débuts du raisonnement par récurrence peut prêter à interprétation, suivant ce que l'on acccepte d'identifier comme tel. Si on regarde les choses d'assez loin on peut déclarer comme Jean Itard en 1961 à propos des éléments d'Euclide On ne trouvera jamais le leitmotiv moderne un peu pédant : « nous avons vérifié la propriété pour 2, nous avons montré que si elle est vraie pour un nombre, elle est vraie pour son suivant, donc elle est générale » et ceux qui ne voient l'induction complète qu'accompagnée de sa rengaine auront le droit de dire qu'on ne la trouve pas dans les Éléments. Pour nous, nous la voyons dans les prop. 3, 27 et 36, VII, 2, 4 et 13 VIII, 8 et 9 IX ^[1]. Ce point de vue n'est cependant pas forcément partagé par les autres historiens^[2].

Le XVII^e siècle et ensuite

Le triangle de Pascal extrait de son manuscript. Par base Pascal entend une diagonale du triangle. Pascal se sert de la géométrie de son triangle pour en énoncer les propriétés. En termes modernes : les coefficients binômiaux sont définis par la relation  ; la conséquence XII, celle à propos de laquelle Pascal introduit la récurrence, revient à énoncer que pour tout entier p entre 1 et n, , ce que Pascal démontre par récurrence sur n. L'étape de récurrence est exposée sur un cas particulier^[3].

On trouve dans le Traité du triangle arithmétique de Blaise Pascal, écrit en 1654 mais publié en 1665, ce qui est généralement considéré comme la première utilisation tout à fait explicite du raisonnement par récurrence. En particulier, même si Pascal utilise parfois dans son traité des formes moins abouties, il écrit ceci :

Quoique cette proposition ait une infinité de cas, j'en donnerai une démonstration bien courte, en supposant 2 lemmes.

• Le 1, qui est évident de soi-même, que cette proportion se rencontre dans la seconde base; car il est bien visible, que φ est à σ comme 1 est à 1.
• Le 2, que si cette proportion se trouve dans une base quelconque, elle se trouvera nécessairement dans la base suivante.

D'où il se voit qu'elle est nécessairement dans toutes les bases : car elle est dans la seconde base par le premier lemme ; donc par le second elle est dans la troisième base, donc dans la quatrième, et à l'infini^[4].

Toujours au XVII^e siècle, il faut mentionner Pierre de Fermat^[5] et Jacob Bernoulli^[6] qui critiquent tous deux la méthode d'induction^[7] de John Wallis, appelée depuis induction incomplète, qui correspond grossièrement à une démonstration pour les premiers entiers et « ainsi de suite ». Fermat promeut par ailleurs la méthode de descente infinie, liée à la récurrence (voir ci-dessous), et qu'il est le premier à identifier et nommer mais qui est déjà utilisée, là sans ambiguïté aucune, par Euclide^[8]. Mais Bernoulli propose de démontrer plutôt le passage de n à n+1, c'est-à-dire exactement le raisonnement par récurrence.

Au cours du XVIII^e et du XIX^e siècle, le raisonnement par récurrence est de plus en plus utilisé pour aboutir finalement à sa formalisation et à son axiomatisation, d'abord partiellement par Grassmann en 1861^[9], puis par Richard Dedekind en 1888 et indépendamment par Giuseppe Peano en 1889^[10]. Pour Dedekind il s'agit d'achever l'arithmétisation des réels, en donnant un cadre formel permettant de développer la méthode des coupures publiée en 1872^[11]. Pour Peano ce sont les prémisses de son très ambitieux projet de formalisation des mathématiques (voir formulaire de mathématiques). Dans les deux cas la récurrence n'est plus simplement un principe de démonstration reposant sur l'intuition, mais un axiome formalisant une propriété des entiers naturels.

Avant le XVII^e siècle

Que Pascal soit ou non l'inventeur du raisonnement par récurrence, on ne peut négliger ses nombreux précurseurs.

Les choses se compliquent du fait de l'absence d'un langage algébrique moderne. Certains résultats ne peuvent parfois pas même être énoncés en toute généralité, et le sont donc pour des entiers donnés, alors que les idées essentielles pour la démonstration du résultat général (passage de n à n+1) sont présentes.

Florian Cajori (1918) la décèle dans la méthode cyclique de Bhaskara et dans la démonstration d'Euclide de l'existence d'une infinité de nombres premiers^[12].

On a découvert depuis les années 1970 plusieurs formes de raisonnement par récurrence dans les mathématiques du monde arabo-islamique, voir Rashed (1972). Ainsi, vers l'an 1000, le persan Al-Karaji (953-1029) établit la formule du binôme de Newton (en fait il n'a pas les notations qui lui permettraient de l'énoncer dans le cas général, mais les méthodes fonctionnent pour un entier arbitraire). Il calcule également la somme des cubes des n premiers entiers naturels^[13], al-Samaw'al poursuit ses travaux. Ces résultats utilisent bien des formes « archaïques » de définition et de raisonnement par récurrence (comme la régression, on part d'un entier donné choisi arbitrairement, et par un procédé manifestement général, en passant de n à n-1, on se ramène au cas initial). À peu près à la même époque, Ibn al-Haytham (953-1039) utilise le raisonnement par récurrence pour calculer la somme des cubes puis des puissances quatrièmes des n premiers entiers naturels^[14]. Bien qu'il ne mentionne même pas la possibilité d'aller au-delà de la puissance 4, sa méthode, itérative, le permettrait.

Durant le Moyen Âge européen, le philosophe et mathématicien juif languedocien Levi ben Gershom (1288-1344), dit Gersonide, fait un usage systématique de la régression pour établir des résultats de combinatoire (somme des cubes, nombre de permutations…)^[15].

Pascal, ou Bernoulli étaient déjà considérés au XIX^e siècle comme les pères du raisonnement par récurrence, mais ensuite, on a beaucoup cité pendant la première moitié du XX^e siècle le mathématicien italien Francesco Maurolico (1494-1575) et son ouvrage Arithmeticorum libri duo (1575)^[16], ceci à la suite d'un article de G. Vacca de 1909, qui influença Moritz Cantor^[17]. et fut traduit dans d'autres langues par exemple en français en 1911. Pour démontrer que la somme des n premiers entiers impairs est un carré parfait, Maurolico utilise une proposition, qui est le passage du cas n au cas n+1 (mais celle-ci n'est pas énoncée comme un lemme, en vue de la proposition précédente). D'autre part il apparaît, d'après la correspondance de Pascal, que celui-ci a lu Maurolico. Cependant un article de Hans Freudenthal (1953)^[18], montre que Maurolico utilise dans son livre très peu de raisonnements de type récurrence (sous quelque forme que ce soit), et d'autre part les découvertes de travaux antérieurs de Al-Karaji, ben Gershom et autres relativisent fortement son apport, ceci au point que les ouvrages généralistes d'histoire des mathématiques ne le mentionnent plus^[19].

Récurrence simple sur les entiers

Pour démontrer une propriété portant sur tous les entiers naturels, comme par exemple la formule du binôme de Newton, on peut utiliser un raisonnement par récurrence. Notons la propriété en question P(n) pour indiquer la dépendance en l'entier n. On peut alors l'obtenir pour tout entier n en démontrant ces deux assertions :

• P(0) (0 vérifie la propriété) : c'est l’initialisation (ou la base) de la récurrence ;
• Pour tout entier n, (P(n) ⇒ P(n+1)) : c'est l’hérédité (on dit que P est héréditaire).

On dit alors que la propriété P s'en déduit par récurrence pour tout entier n. On précise parfois « récurrence simple », quand il est nécessaire de distinguer ce raisonnement d'autres formes de récurrence (voir la suite).

Le raisonnement par récurrence est une propriété fondamentale des entiers naturels, et c'est le principal des axiomes de Peano. Une axiomatique est, en quelque sorte une définition implicite, dans ce cas une définition implicite des entiers naturels. Dans certains contextes, comme en théorie des ensembles on déduit directement la récurrence de la définition, explicite cette fois, de l'ensemble des entiers naturels.

La récurrence peut aussi s'exprimer de façon ensembliste : il s'agit juste d'une variation sur la définition d'un ensemble en compréhension. On associe à une propriété P l'ensemble E des entiers naturels la vérifiant, et à un ensemble d'entiers naturels E la propriété d'appartenance associée. La récurrence se réénonce alors de façon équivalente ainsi :

Soit E un sous-ensemble de N, si :

• 0 appartient à E
• Pour tout entier naturel n, (n appartient à E implique n+1 appartient à E)

Alors E = N^[20].

Bien sûr, l'initialisation peut commencer à un entier k arbitraire et dans ce cas la propriété n'est démontrée vraie qu'à partir du rang k :

Si :

• P(k) ;
• Pour tout entier n supérieur ou égal à k, [P(n) implique P(n+1)] ;

Alors pour tout entier n supérieur ou égal à k, P(n).

Cette récurrence à partir de k est une conséquence immédiate de la récurrence à partir de 0 : il suffit de démontrer « n < k ou P(n) », ou encore « P(n+k) » si l'on dispose de l'addition, par récurrence sur n ; chacune de ces propriétés est bien vraie pour tout entier n si et seulement si la propriété P est vraie pour tout entier supérieur ou égal à k.

De façon analogue on aura d'autres raisonnements par récurrence, sans avoir besoin de poser à chaque fois un nouveau principe, par exemple, une récurrence sur les entiers pairs (prendre P(2n)), etc.

Exemple 1 : la somme des n premiers entiers impairs

Les entiers impairs sont les entiers de la forme 2n+1 (le premier, obtenu pour n=0, est 1). On déduit d'une identité remarquable bien connue que 2n+1 ajouté au carré de n donne le carré du nombre suivant :

n²+2n+1 = (n+1)²

On va donc montrer par récurrence que la somme des n premiers entiers impairs est égale au carré de n :

1+3+ … + (2n-1) = n².

Bien que l'écriture précédente puisse laisser entendre que 2n -1 > 3, on ne le supposera pas^[21]. La somme est vide donc nulle si n = 0, réduite à 1 si n=1, égale à 1+3 si n=2 etc.

• initialisation : le cas n=0 est celui où la somme est vide, elle est donc bien égale à 0²
• hérédité : raisonnons sur un éventuel entier n, arbitraire, mais pour lequel 1+3+ … + (2n-1) = n². Puisque l'entier impair qui suit 2n-1 est 2n+1, on en déduit que :

1+3+ … + (2n-1) + (2n+1) = n²+2n+1= (n+1)²,

c'est-à-dire que la propriété est héréditaire.

Exemple 2 : Identité du binôme de Newton

Précautions à prendre

• L’initialisation ne doit pas être oubliée. Voici un exemple un peu ad hoc mais qui illustre bien ceci. On montre facilement que les propriétés « 3²ⁿ⁺⁶ - 2ⁿ est un multiple de 7 » et « 3²ⁿ⁺⁴ - 2ⁿ est un multiple de 7 » sont toutes deux héréditaires. Cependant la première est vraie pour tout entier naturel n, alors que la seconde ne l'est pas car elle n’est jamais initialisable : en effet, en n=0 on a 3⁴ - 1 = 80, qui n'est pas divisible par 7. Pour la première proposition :

• on vérifie que si n = 0, 3⁶ - 2⁰ est bien un multiple de 7 (728 est bien un multiple de 7) ;
• on montre que si 3²ⁿ⁺⁶ - 2ⁿ est un multiple de 7, alors 3²ⁿ⁺⁸ - 2ⁿ⁺¹ est un multiple de 7 :

.

3²ⁿ⁺⁶ - 2ⁿ est donc somme de deux multiples de 7, c’est bien un multiple de 7.

L'hérédité de la seconde propriété est strictement analogue. On montre pourtant, en utilisant les congruences modulo 7, qu'elle n'est vraie pour aucun entier (congruences que l'on pourrait d'ailleurs utiliser également pour démontrer la première propriété).

• L’hérédité doit être démontrée pour tout entier n plus grand ou égal au dernier n₀ pour lequel la propriété a été démontrée directement (initialisation).

Si on prend, par exemple, la suite , on peut observer que cette suite est croissante à partir de n = 2 car .

Si on cherche à démontrer que pour tout ,

l’initialisation est facile à prouver car u₁ = 1.

l’hérédité aussi car, la suite étant croissante, si alors .

Pourtant cette inégalité est vraie seulement pour n = 1. L’hérédité n’a en réalité été prouvée que pour n supérieur ou égal à 2 et non pour n supérieur ou égal à 1.

Autres formes de récurrence, énoncés équivalents

Plusieurs formes de récurrence, en apparence plus générales que la récurrence ordinaire, s'avèrent équivalentes.

Récurrence d’ordre 2

Il peut arriver que, pour l'hérédité, quand il s'agit de démontrer P(n + 1), on ait besoin de supposer la propriété aux deux rangs précédents, c'est-à-dire non seulement pour n, mais aussi pour n -1. On est amené à utiliser le principe de récurrence suivant :

Soit P(n) une propriété définie sur N, si :

• P(0)
• P(1)
• [P(n) et P(n+1)] ⇒ P(n+2) (pour tout n ∈ N)

alors P(n) pour tout n ∈ N.

Cette propriété est en apparence plus forte que la récurrence simple, puisque l'on a une hypothèse supplémentaire à notre disposition, mais lui est en fait équivalente, puisque cela revient à démontrer [P(n) et P(n+1)] par récurrence simple. On trouvera par exemple dans l'article suite de Fibonacci des exemples d'application de ce principe de récurrence.

Récurrence forte et bon ordre

La récurrence précédente peut être généralisée à plus d'hypothèses, 3, 4 etc. Mais tous ces principes apparaissent comme des cas particuliers du principe de récurrence suivant, parfois appelé récurrence forte ou récurrence cumulative.

Récurrence forte

Il est parfois nécessaire, dans des raisonnements par récurrence, d’utiliser une version plus forte pour l’hérédité :

Soit P(n) une propriété définie sur N, si :

• P(0)
• [∀k≤n P(k)] ⇒ P(n+1) (pour tout n ∈ N)

alors P(n) pour tout entier n ∈ N.

Donc pour démontrer la propriété au rang suivant on peut la supposer vraie pour tous les rangs inférieurs (pour cette raison, cette forme de récurrence est parfois appelée récurrence cumulative).

À nouveau cette propriété est en apparence plus forte que la récurrence simple, mais lui est en fait équivalente, puisque cela revient à démontrer la propriété « ∀k≤n P(k) » par récurrence simple, sachant que pour tout entier naturel k :

k ≤ n+1 ⇔ (k ≤ n ou k = n+1)

k ≤ 0 ⇔ k = 0.

Cette récurrence peut également se décaler à partir d'un certain rang, exactement comme la récurrence simple.

Bonne fondation

On peut ré-énoncer ce principe de façon à évacuer toute référence aux entiers : 0 et le successeur qui à n associe n+1, au profit de la seule relation d'ordre. En effet les deux hypothèses de récurrence peuvent se rassembler en une seule :

Soit P(n) une propriété définie sur N, si :

• [∀k<n P(k)] ⇒ P(n) (pour tout n ∈ N)

alors P(n) pour tout entier n ∈ N.

(dans le cas où n = 0, l'hypothèse est vide).

C'est cette forme du raisonnement par récurrence qui se généralise directement aux bons ordres (et aux ordres bien fondés). Dans le cas des entiers l'équivalence démontrée ci-dessus utilise, entre autres, que le seul entier qui n'est pas le successeur d'un autre entier est zéro. C'est cette propriété qui n'est pas nécessairement vraie dans les ensembles bien ordonnés.

Exemple d'utilisation

Pour démontrer que tout entier naturel supérieur ou égal à 2 possède un diviseur premier.

• On démontre que 2 possède un diviseur premier qui est lui-même
• Soit n un entier supérieur ou égal à 2, on suppose que tous les entiers d supérieurs ou égaux à 2 et strictement inférieurs à n possèdent un diviseur premier et on cherche à prouver qu’il en est de même pour n.

ou bien n est premier alors il possède un diviseur premier qui est lui-même

ou bien n est composé et il existe un entier d supérieur ou égal à 2 et strictement inférieur à n qui divise n. Alors d possède un diviseur premier qui est aussi diviseur de n.

Bon ordre et principe de descente infinie de Fermat

De façon alternative à la récurrence, en particulier à la récurrence forte, on peut utiliser le principe de descente infinie illustré par Pierre de Fermat, et qui énonce qu'il n'existe pas de suite infinie strictement décroissante d'entiers positifs^[22] ; c'est une conséquence de la propriété de bon ordre, qui dit que tout sous-ensemble non vide de N a un plus petit élément, équivalente à la propriété de récurrence. On montre en fait que la propriété de récurrence donnée précédemment, qui ne dépend que de l'ordre, est une autre façon de formuler la propriété de bon ordre (sachant que la relation « ≤ » est totale).

La propriété de récurrence sous la forme donnée au dernier paragraphe (bonne fondation) se réénonce de façon ensembliste. Cela revient à dire que pour tout sous-ensemble E de N :

si ([∀k ∈ N] k<n ⇒ k ∈ E) ⇒ n ∈ E (pour tout n ∈ N)

alors E = N.

En reformulant par contraposée l'hypothèse de l'énoncé ci-dessus, on obtient que, pour tout n ∈ N :

n ∉ E ⇒ (∃k ∈ N) k <n & k∉ E

c'est-à-dire que le complémentaire de E dans les entiers — notons-le E^C — n'a pas de plus petit élément. Par ailleurs :

E = N si et seulement si E^C = ∅.

Sachant que l'ordre sur N est total, il y a donc équivalence entre l'énoncé de récurrence sous sa dernière forme et l'énoncé :

tout sous-ensemble E de N qui n'a pas de plus petit élément est vide

qui n'est autre que la contraposée de la propriété de bon ordre^[23].

On a donc montré l'équivalence entre la propriété de récurrence simple sur N (via la propriété de récurrence forte) et la propriété de bon ordre sur N. Comme il existe des bons ordres qui ne sont pas isomorphes à l'ordre usuel sur N, on a forcément utilisé au passage une propriété spécifique des entiers, en l'occurrence essentiellement le fait que tout entier non nul est le successeur d'un autre entier, qui est d'ailleurs une conséquence de la propriété de récurrence. Les deux propriétés énoncées au paragraphe « récurrence forte » caractérisent la relation d'ordre sur les entiers, elles énoncent essentiellement que l'ordre est obtenu en itérant le successeur.

La démonstration directe que la propriété de récurrence se déduit de celle de bon ordre est cependant particulièrement simple. Pour une propriété P héréditaire et vérifiée en 0, il suffit de considérer, le minimum de l'ensemble des entiers ne vérifiant pas celle-ci. Il n'existe que si cet ensemble est non vide. Si ce minimum est 0 cela contredit l'initialisation. Si ce minimum est le successeur d'un entier, ce dernier contredit l'hérédité. L'ensemble des entiers ne vérifiant pas P est donc vide : tout entier vérifie P.

De N est bien ordonné, on déduit directement qu'il n'existe pas de suite infinie strictement décroissante sur N^[24], d'où le nom de « descente infinie » (dans le raisonnement par descente infinie, il s'agit justement d'en établir une, dans le cadre d'un raisonnement par l'absurde).

Il est également possible dans un raisonnement d'exploiter directement la propriété de bon ordre, appelée parfois dans ce cadre principe du minimum. Par exemple si on reprend l'exemple traité au paragraphe « bonne fondation », qui est aussi l'un des premiers exemples connus de raisonnement par descente infinie, l'existence pour tout nombre d'un diviseur premier^[8], on peut, en raisonnant par l'absurde, établir une suite infinie de diviseurs successifs stricts (descente infinie), ou choisir directement le plus petit diviseur d'un nombre donné (bon ordre) et montrer qu'il est premier.

Un principe de récurrence alternatif

Dans son livre sur la fonction gamma^[25], le mathématicien Emil Artin propose un principe de récurrence^[26] qui s'adapte bien au cas où la propriété se démontre facilement pour les puissances de 2. Son énoncé est le suivant:

Soit P(n) une propriété définie sur N :

• si P(1),
• si pour tout n ∈ N, P(n) ⇒ P(2n),
• et si pour tout n ∈ N, P(n+1) ⇒ P(n),

alors, pour tout entier n ∈ N, P(n).

L'originalité de ce principe repose sur un principe de récurrence à rebours : on ne prouve plus une propriété de n à n+1 mais de n+1 à n en y adjoignant que si la propriété est vraie d'un entier alors elle est vraie pour un entier strictement plus grand. Ce qui donne une preuve de la propriété sur tous les entiers en zigzag.

Justification du principe de récurrence

Le texte de Blaise Pascal cité plus haut, premier texte où le raisonnement par récurrence apparaît de façon tout à fait explicite, donne une justification intuitive très naturelle de celui-ci : le fait qu'il permette de construire une démonstration directe pour n'importe quel entier, justification toujours employée de nos jours^[27]. Cependant cette justification ne peut constituer une démonstration de la validité du principe de récurrence. Pour démontrer P(n) pour tout entier n, il faudrait écrire toutes les implications entre P(n) et P(n+1) à partir de P(0), et cela nécessiterait une infinité d’implications. Comme une démonstration est finie, une telle démonstration ne vaudra donc que pour un entier n fixé à l'avance. Les deux hypothèses du principe de récurrence permettent théoriquement d'écrire « mécaniquement » une démonstration pour un entier arbitrairement grand, mais non pour tous les entiers.

Le principe de récurrence est donc bien une propriété des entiers naturels, admis en tant qu'axiome (Dedekind 1888), ou bien démontré dans le cadre d'une théorie plus puissante comme la théorie des ensembles. Il permet alors de « rassembler » sous la forme d'une seule démonstration finie, cette infinité de démonstrations, une pour chaque entier.

Pour autant l'axiomatisation a-t-elle entièrement capturé l'intuition ? On déduit très directement des théorèmes d'incomplétude de Gödel (1931) que non. En effet, pour toute axiomatisation raisonnable, par exemple la théorie des ensembles ZFC, chacun de ces deux théorèmes fournit une propriété P des entiers qui s'exprime dans le langage de la théorie, et qui est démontrable pour n'importe quel entier fixé à l'avance, mais pourtant on ne peut démontrer l'énoncé (formalisé dans la théorie) « pour tout entier naturel P(n) », par récurrence ou tout autre moyen disponible par l'axiomatisation.

Le principe de récurrence et l'ω-incohérence

Ainsi, les hypothèses P(0) et P héréditaire : ∀n [ P(n) ⇒ P(n+1) ] permettent de montrer que, pour tout entier n donné, on a (où le symbole indique qu'il existe une démonstration de la proposition énoncée). Mais ces hypothèses seules ne permettent pas d'affirmer , qui est beaucoup plus fort. C'est le principe de récurrence qui le permet.

En effet on peut avoir une théorie T, cohérente, telle que :

• 1/ Pour tout entier n, , (donc , , , , ... ),

Sans que pourtant on ait :

• 2/

Ceci peut se concevoir aisément par un exemple^[28] : On ignore actuellement si la conjecture de Goldbach disant que tout entier pair > 2 est somme de 2 nombres premiers est un énoncé :

• indécidable de la théorie arithmétique, notée AP, mais
• vrai sur N (et même démontrable dans une théorie plus forte, telle que la théorie des ensembles).

Si tel est le cas, en prenant pour P(n), "2n+4 est somme de 2 nombres premiers", on aurait, pour tout entier n :

• , car pour tout nombre pair donné, on pourrait prouver en un nombre fini d'étapes, dans AP qu'il est somme de 2 nombres premiers s'il l'est. Il suffirait pour cela de calculer les sommes des couples de nombres premiers inférieurs à n et de les comparer à n.

Mais pas :

• , dans le cas où la conjecture de Goldbach serait indécidable dans AP.

On peut même avoir une théorie T, cohérente, telle que :

• 1/ Pour tout entier n, , et :
• 3/

Une telle théorie est dite simplement cohérente et ω-incohérente (lire omega-incohérente)^[29].

Ceci se conçoit toujours aisément en reprenant l'exemple ci-dessus :

• Si la proposition "∀n P(n)" (ici, la conjecture de Golbach) est indécidable dans notre théorie (ici, AP), l'adjonction de "non [ ∀n P(n) ]" aux axiomes de la théorie 1/ la laisse cohérente si elle l'était et préserve les théorèmes de T. Par ailleurs on a évidemment  :
• 

Et en remplaçant dans le paragraphe précédant T par , on a le résultat attendu.

Ainsi, il ne suffit pas de démontrer que pour tout n, P(n) [soit P(0), P(1), P(2), ... ] pour démontrer ∀n P(n), comme arrive à le faire le principe de récurrence.

Une théorie dans laquelle pour tout prédicat P,

• Pour tout n, implique

est dite ω-cohérente^[30].

Généralisations

Le raisonnement par récurrence se généralise naturellement, sous la forme de la récurrence bien fondée indiquée au paragraphe « bonne fondation », aux ensembles sur lesquels on peut définir un bon ordre (voir les articles nombre ordinal et récurrence transfinie), ou simplement une relation bien fondée.

Voir aussi

• Analyse non standard, en particulier la section sur les entiers

Notes

Bibliographie

Plusieurs des articles historiques spécialisés (Acerbi, Rashed…) commencent par un panorama plus général.

• Fabio Acerbi (2000), Plato: Parmenides 149a7-c3. A Proof by Complete Induction?, Archive for History of Exact Sciences 55 (2000), p. 57-76, accessible en ligne [2]
• W. H. Bussey (1917). The Origin of Mathematical Induction. The American Mathematical Monthly 24 (5): 199-207, accès restreint en [3]
• Florian Cajori (1918), Origin of the name mathematical induction, in The American math. Monthly, 25, 1918, n^o 5, p. 197-201, accès restreint en [4]
• Richard Dedekind (1888), Was sind und was sollen die Zahlen? (« Que sont et que doivent être les nombres ? »), Braunschweig
• Hans Freudenthal (1953), Zur Geschichte der vollständigen Induction, Archives Internationales d'Histoire des Sciences 6, p. 17-37.
• Victor J. Katz (1995) et (1998), A History of Mathematics: An Introduction, 2nd ed. en 1998, Addison-Wesley. ISBN 0-321-01618-1.
• Giuseppe Peano (1889), 1Arithmetices principia, nova methodo exposita (« Les principes de l'arithmétique, nouvelle méthode d'exposition »), Bocca, Turin, rep. Opera Scelte vol II ed. cremonese Roma 1958, original en latin traduit en anglais (partiellement) dans From Frege to Gödel : a source book in mathematical logic, Jean van Heijenoort Ed.
• Nachum L. Rabinovitch (1970), Rabi Levi Ben Gershon and the Origins of Mathematical Induction, Archive for the History of Exact Science 6, p. 237-248, accès restreint chez l'éditeur.
• Roshdi Rashed (1972), L'induction mathématique: al-Karajī, as-Samaw'al, Archive for History of Exact Sciences 9, p. 1-12, accès restreint chez l'éditeur.
• G. Vacca (1909), Maurolycus, the first discoverer of the principle of mathematical induction, in Bull. of Am. math. Society, vol. XVI, 1909, p. 70-73, disponible en ligne [5], version française Sur le principe d'induction mathématique dans la Revue de Métaphysique et de morale, 19, 1911, p. 30-33, Lire en ligne sur Gallica

L'article de Vacca a son importance dans le développement de l'histoire de la récurrence, mais n'est plus considéré comme une référence fiable sur Maurolico, cf. Rashed (1972), introduction, voir plutôt Bussey (1917) et Freudenthal (1953).

• Mohamed Yadegari (1978), The Use of Mathematical Induction by Abu Kamil Shuja' Ibn Aslam (850-930), Isis, Vol. 69, No. 2 (Jun., 1978), p. 259-262, accès restreint en [6]

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