Radical d'un idéal
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Radical.
En algèbre commutative, le radical d'un idéal I dans un anneau commutatif A est l'ensemble des éléments de A dont une puissance appartient à I.
Définition
Exemple
Si A est un anneau principal, I est de la forme aA et son radical est l'idéal engendré par le produit des diviseurs irréductibles de a (chaque irréductible - à produit près par un inversible - n'apparaissant qu'une fois dans ce produit). En particulier dans 
, le radical d'un idéal 
est l'idéal engendré par le radical de l'entier n.
Propriétés
- C'est un idéal de A contenant I.
- Le radical du radical de I est le radical de I.
- Si I est propre alors son radical est propre, et c'est l'intersection des idéaux premiers de A qui contiennent I (voir théorème de Krull).
- Le nilradical de l'anneau A est par définition le radical de l'idéal nul.
- Si I et J sont deux idéaux de A alors
- le radical de I∩J est égal à l'intersection des radicaux de I et J et est aussi égal au radical de l'idéal produit IJ ;
- l'idéal I+J contient la somme des radicaux de I et J. L'égalité n'est pas toujours vraie comme montre l'exemple A = k[X,Y], I = XA et J = (X + Y2)A.
- Si le radical de I est un idéal de type fini (c'est-à-dire de type fini comme sous-A-module de A), par exemple si A est noethérien, alors il existe un entier naturel n tel que xn appartienne à I pour tout x appartenant au radical de I.
Idéal radiciel
Un idéal I d'un anneau commutatif A est dit radiciel lorsqu'il est égal à son radical. En d'autres termes, I est radiciel si et seulement si l'anneau quotient A / I est réduit. Tout idéal premier est donc radiciel.
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2010.
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