Préconditionneur

Préconditionneur

En algèbre linéaire et en analyse numérique, un préconditionneur P d'une matrice A est une matrice telle que le conditionnement de P − 1A est plus petit que celui de A.

Le préconditionnement est surtout utilisé dans les méthodes itératives pour la résolution d'un système linéaire (méthode du gradient, méthode du gradient conjugué, ...).

Au lieu de résoudre,

Ax=b\,

on préfère résoudre

P^{-1}Ax=P^{-1}b\,

qui permet de diminuer considérablement le nombre d'itérations dans la méthode de résolution (itérative). On dit que le système est "mieux" conditionné.


Ici, nous avons écrit un préconditionneur à gauche. Nous pouvons aussi écrire un préconditionneur à droite. Dans ce cas, la résolution se fait en deux temps:

AP^{-1} z=b\, et x = P − 1z


Nous pouvons, dans la même idée, écrire un préconditionneur à droite et à gauche, c'est-à-dire:

P^{-1}_1AP^{-1}_2z=P^{-1}_1b\, avec x=P^{-1}_2z et A \approx P_1P_2


En général, on ne calcule pas explicitement P, mais on utilise des algorithmes pour trouver un inverse approché de A ( SPAI, décomposition LU, factorisation de Cholesky, ...). Dans certaines méthodes numériques (intégrales de frontières avec décomposition multipôles, ...), on préfère définir le produit matrice-vecteur, ce qui permet de réduire le stockage de(s) matrice(s), donc certains types de préconditionneur seront préférés.

Sources


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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Préconditionneur de Wikipédia en français (auteurs)

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