Distance d'un point à un plan

Distance d'un point à un plan
La distance du point A au plan P est AH. Cette distance est inférieure à AM et AM'

Dans l'espace euclidien, la distance d'un point à un plan est la plus courte distance séparant ce point et un point du plan. Le théorème de Pythagore permet d'affirmer que la distance du point A au plan (P) correspond à la distance séparant A de son projeté orthogonal H sur le plan (P).

Si l'espace est muni d'un repère orthonormal, les points peuvent être définis à l'aide de leurs coordonnées dites cartésiennes.

Soit le plan P et le point A dans l'espace. On appelle (xA, yA, zA) les coordonnées du point A et ax + by + cz + d = 0 l'équation représentative du plan P : alors la distance du point A au plan P, dA, P vaut :

d_{\mathrm{A}, \mathrm{P}} =\frac{\left| ax_\mathrm{A} + by_\mathrm{A} + cz_\mathrm{A} + d \right|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}
Démonstration

Soit H(x, y, z ) le projeté orthogonal de A sur P et soit \vec n \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ \end{pmatrix} un vecteur normal à P.

On sait que les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AH}} et \vec n sont colinéaires, on peut donc écrire  :

\overrightarrow{\mathrm{AH}}=\lambda \cdot \vec n

Soit encore

\begin{pmatrix} x-x_\mathrm{A} \\ y-y_\mathrm{A} \\ z-z_\mathrm{A} \\ \end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ \end{pmatrix}

et \mathrm{H} \in \mathrm{P} donc

ax + by + cz + d = 0.

Ceci revient à résoudre le système suivant:

\left \{ \begin{matrix} x = \lambda a+x_\mathrm{A} \\ y = \lambda b+y_\mathrm{A} \\ z = \lambda c+z_\mathrm{A} \\ ax + by + cz + d = 0 \end{matrix} \right .

La substitution de x, y et z dans la 4e équation par leurs valeurs obtenues dans les 3 premières permet d'écrire :

a(λa + xA) + b(λb + yA) + c(λc + zA) + d = 0.

Ou encore :

axA + byA + czA + d + λ(a2 + b2 + c2) = 0.

P étant un plan, a, b, c ne sont pas tous nuls : on a

\lambda = - \frac {ax_A+by_A+cz_A+d}{a^2+b^2+c^2}

Or, la distance de A à P n'est autre que la longueur du vecteur \overrightarrow{\mathrm{AH}}, donc :

d_{\mathrm{A}, \mathrm{P}} = \mathrm{AH} = \left| \lambda \right| \| \vec n \|
soit d_{\mathrm{A}, \mathrm{P}} = \left| \frac {-(ax_\mathrm{A} + by_\mathrm{A} + cz_\mathrm{A} + d)}{a^2+b^2+c^2} \right| \sqrt{a^2+b^2+c^2}
et enfin d_{\mathrm{A},P} =\frac{\left| ax_\mathrm{A} + by_\mathrm{A} + cz_\mathrm{A} + d \right|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}

Ceci termine la preuve.

Voir aussi


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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Distance d'un point à un plan de Wikipédia en français (auteurs)

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