Problème du voyageur de commerce

Si un voyageur part du point A et que les distances entre toutes les villes sont connues, quel est le plus court chemin pour visiter tous les points et revenir au point A ?

Le problème du voyageur de commerce consiste, étant donné un ensemble de villes séparées par des distances données, à trouver le plus court chemin qui relie toutes les villes. Il s'agit d'un problème d'optimisation pour lequel on ne connait pas d'algorithme permettant de trouver une solution exacte en un temps polynomial. De plus, la version décisionnelle de l'énoncé (pour une distance D, existe-t-il un chemin plus court que D passant par toutes les villes ?) est connu comme étant un problème NP-complet.

Approche simplifiée

L'énoncé du problème du voyageur de commerce est le suivant : étant donné n points (des « villes ») et les distances séparant chaque point, trouver un chemin de longueur totale minimale qui passe exactement une fois par chaque point et revienne au point de départ.

Ce problème est plus compliqué qu'il n'y paraît ; on ne connaît pas de méthode de résolution permettant d'obtenir des solutions exactes en un temps raisonnable pour de grandes instances (grand nombre de villes) du problème. Pour ces grandes instances, on devra donc souvent se contenter de solutions approchées, car on se retrouve face à une explosion combinatoire : le nombre de chemins possibles passant par 69 villes est déjà un nombre d'une longueur de 100 chiffres. Pour comparaison, un nombre d'une longueur de 80 chiffres permettrait déjà de représenter le nombre d'atomes dans tout l'univers connu.

Ce problème peut servir tel quel à l'optimisation de trajectoires de machines-outils : par exemple, pour minimiser le temps total que met une fraiseuse à commande numérique pour percer n points dans une plaque de tôle. Il se posait également pour optimiser la vitesse de tracé d'une structure (en BTP, par exemple) par une table traçante à l'époque où ces périphériques étaient mécaniques, et non électroniques comme aujourd'hui.

Plus généralement, divers problèmes de recherche opérationnelle se ramènent au voyageur de commerce. Un voyageur de commerce peu scrupuleux serait intéressé par le double problème du chemin le plus court (pour son trajet réel) et du chemin le plus long (pour sa note de frais).

Problème détaillé

Voici un énoncé plus formel du problème du voyageur de commerce sous forme constatée de problème d'optimisation combinatoire.

Soit un graphe complet G = (V,A,ω) avec V un ensemble de sommets, A un ensemble d'arêtes et ω une fonction de coût sur les arcs. Le problème est de trouver le plus court cycle hamiltonien dans le graphe.

Remarque :

• Rien n'interdit au graphe donné en entrée d'être orienté. Dans ce cas, on considère que l'arrête existe dans un sens, et pas dans l'autre.

Problème symétrique et problème asymétrique

La tsplib^[1] distingue^[2] deux sous-cas du problème du voyageur de commerce :

Problème du voyageur de commerce symétrique :

Étant donnés un ensemble de n nœuds et de distances pour chaque paire de nœuds, trouver un cycle de longueur minimale qui visite chaque nœud exactement une fois. Pour i et j deux nœuds d'une arête, la distance de i à j est la même que celle de j à i.

Problème du voyageur de commerce asymétrique :

Étant donnés un ensemble de n nœuds et de distances pour chaque paire de nœuds, trouver un cycle de longueur minimale qui visite chaque nœud exactement une fois. Cette fois-ci la distance entre deux nœuds i et j d'une arête n'est pas forcément la même qu'on aille de i à j ou bien de j à i.

Approches de résolution

Rigoureusement, résoudre le problème du voyageur de commerce est une tâche difficile : on doit trouver le plus petit cycle hamiltonien (au sens qu'on doit prouver qu'il n'en existe pas de longueur inférieure) dans le graphe d'entrée. Toutefois il arrive qu'on se satisfasse d'une « bonne solution », c'est-à-dire d'un cycle hamiltonien qui ne soit pas trop loin de la meilleure solution possible.

Résolution exacte

De nombreux travaux de recherche ont concerné le problème du voyageur de commerce. L'optimisation linéaire permet^[3] désormais de résoudre des problèmes de grande taille (à l'échelle d'un pays^[4]), moyennant éventuellement un temps de calcul important.

Résolution approchée

Lorsque le temps alloué à la résolution est faible on utilisera plutôt des heuristiques tel que l'Algorithme de Lin-Kernighan^[5] et des méta-heuristiques. Toutefois les méthodes heuristiques ne donnent en général aucune preuve justifiant qu'elles obtiennent la meilleure solution, et même si elles peuvent en pratique être très bonnes, en toute généralité elles ne fournissent qu'une solution approchée.

Les algorithmes génétiques peuvent aussi être adaptés au problème du voyageur de commerce. L'idée a été proposée la première fois par John Holland au début des années 1970^[6].

Voir aussi

Articles connexes

• 2-opt
• Heuristique
• Séparation et évaluation
• Problème du sac à dos
• Problème de tournées de véhicules
• Algorithme de colonies de fourmis
• Problème du postier chinois

Liens externes

• Applet Java illustrant le problème du voyageur de commerce
• tsplib, une bibliothèque fournissant des instances du problème
• concorde, un logiciel capable de résoudre des instances du problème
• une applet utilisant l'api de google maps résolvant des instances du problème
• une solution simple au problème...

Références

• Portail de l'informatique théorique