Polynôme à valeurs entières

En mathématiques, un polynôme à valeurs entières P(t) est un polynôme qui prend une valeur entière P(n) pour chaque entier n. D'une manière certaine, chaque polynôme avec des coefficients entiers est à valeurs entières. Voici des exemples simples montrant que le contraire n'est pas vrai : par exemple le polynôme

t(t + 1)/2

donnant les nombres triangulaires renvoie des valeurs entières lorsque t = n est un entier. C'est parce que n ou n + 1 doivent être un nombre pair.

En fait, les polynômes à valeurs entières peuvent être décrits complètement. À l'intérieur de l'anneau Q[t] des polynômes à coefficients rationnels, le sous-anneau des polynômes à valeurs entières est un groupe abélien libre. Il possède comme base les polynômes

P_k(t) = t(t − 1)...(t − k + 1)/k!

pour k = 0,1,2, ... Bien que ce sous-anneau soit de construction simple (avec sa Z-base formée par les polynômes P_k), il possède des propriétés assez atypiques (ce qui le rend bon candidat pour être source d'exemples et/ou de contre-exemples) :

-- anneau non noethérien (lorsque k est un nombre premier, le polynôme P_k n'appartient pas à l'idéal engendré par les polynômes d'indices inférieurs P₁,...,P_k-1) ;

-- tout élément de la forme P_k(t) + R(t) avec deg(R(t))<k est un élément irréductible () ;

-- en particulier, P_k(t) est un élément irréductible non premier () ;

-- anneau intègre de Prüfer (tout idéal de type fini est localement principal) ;

-- anneau dénombrable, mais dont le spectre premier est non-dénombrable ;

-- anneau de dimension de Krull 2 ;

-- ces idéaux de type fini non nuls sont inversibles et engendrés par au plus deux éléments ;

-- etc.

Diviseurs premiers fixés

Ce concept peut être utilisé efficacement pour résoudre les questions ayant trait aux diviseurs fixés de polynômes. Par exemple, les polynômes P à coefficients entiers qui prennent toujours des valeurs en nombre pair sont juste ceux tels que P/2 est à valeurs entières. Ceux-ci sont à leur tour ceux exprimés comme sommes de polynômes de base, avec des coefficients pairs.

Dans les questions de théorie des nombres sur les nombres premiers, tel que l'hypothèse H de Schinzel et la conjecture de Bateman-Horn, c'est une question d'importance fondamentale de comprendre la question lorsque P ne possède pas de diviseur premier fixé (ceci a été appelé la propriété de Bunyakovsky, en l'honneur de Viktor Bunyakovsky). En écrivant P en termes de polynômes de base, nous voyons que le diviseur premier fixé le plus élevé est aussi le PGCD des coefficients dans une telle représentation. Donc, la propriété de Bunyakovsky est l'équivalent de coefficients premiers entre eux.

Comme exemple, la paire de polynômes n et n² + 2 violent cette condition pour p = 3 : pour chaque n le produit

est divisible par 3. En conséquence, il ne peut pas exister infiniment de paires premières de n et n² + 2. La divisibilité est attribuable à la représentation alternative

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Référence

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Integer-valued polynomial » (voir la liste des auteurs)

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