Conjecture De Bateman-Horn

Conjecture de Bateman-Horn

En mathématiques ainsi que dans la théorie des nombres, la conjecture de Bateman-Horn est une vaste généralisation de conjectures telles que la conjecture d'Hardy et Littlewood sur la densité des nombres premiers jumeaux ou leur conjecture sur les nombres premiers de la forme $n^2+1\,$ ; c'est aussi un renforcement de l'hypothèse H de Schinzel.

Elle fournit une densité conjecturée pour les entiers positifs auxquels un ensemble donné de polynômes ont tous des valeurs premières. L'ensemble des polynômes $f_1, \dots, f_m\,$ sont m distincts, des polynômes irréductibles à coefficients entiers, tels que le produit f de tous les polynômes f_i possède la propriété de Bunyakovsky : aucun nombre premier p ne divise f(n) pour chaque entier positif n.

Si P(x) est le nombre d'entiers positifs inférieurs à x tel que tous les polynômes ont pour valeur un nombre premier, alors la conjecture est

$P(x) \sim \frac{C}{D} \int_2^x \frac{dt}{(\log t)^m},\,$

où C est le produit sur les nombres premiers p

$C = \prod_p \frac{1-N(p)/p}{(1-1/p)^m}\,$

avec $N (p)$ , le nombre de solutions mod p de $f(n) \equiv 0 \pmod p$ où f est le produit des polynômes f_i, et D est le produit des degrés des polynômes.

Souvent, cette conjecture suppose que les polynômes $f i$ ont le coefficient du terme de plus haut degré positif. C'est une condition non nécessaire si on permet les nombres premiers négatifs (ce qui est raisonnable si vous essayez de formuler la conjecture au-delà du cas classique des nombres entiers), mais en même temps, il est facile de rendre négatif les polynômes si nécessaire pour réduire le cas où les coefficients de terme de plus haut degré sont positifs.

La propriété de Bunyakovsky implique

N (p) < p

pour tous les nombres premiers p, donc chaque facteur dans le produit infini C est positif. Intuitivement, on peut alors espérer que la constante C est elle-même positive, et avec un certain travail, ceci peut être démontré.

Références

Bateman, P. T. and Horn, R. A., “A heuristic asymptotic formula concerning the distribution of prime numbers”, Mathematics of Computation 16 (1962), pp. 363–367

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