Pfaffien

En mathématiques, le pfaffien, ou le déterminant pfaffien, qui tire son nom du mathématicien allemand Johann Pfaff, est un scalaire qui intervient dans l'étude des matrices antisymétriques. Il s'exprime de façon polynomiale à l'aide des coefficients de la matrice. Ce polynôme est nul si la matrice est de taille impaire ; il ne présente d'intérêt que dans le cas des matrices antisymétriques de taille 2n × 2n, son degré est alors n. Le pfaffien d'une matrice A est noté $\mathrm{Pf} \left( A \right)$ .

Le pfaffien est relié au déterminant. En effet, le déterminant d'une telle matrice peut toujours être exprimé comme un carré parfait, et en fait le carré du pfaffien.

Sommaire

1 Histoire
2 Applications
3 Définition formelle
- 3.1 Simplification
- 3.2 Définition alternative
4 Exemples
5 Identités remarquables
6 Voir aussi

Histoire

Le terme « pfaffien » fut introduit par Arthur Cayley, qui l'utilisa en 1852 : « Les permutants de cette classe (par leur lien avec les recherches de Pfaff sur les équations différentielles) je les appellerai pfaffiens » . Le mathématicien allemand à qui il fait référence est Johann Friedrich Pfaff.

C'est en 1882 que Thomas Muir prouve le lien entre pfaffien et déterminant d'une matrice antisymétrique. Il publie ce résultat dans son traité sur les déterminants^[1].

Applications

le pfaffien est une polynôme invariant d'une matrice antisymétrique (il n'est pas invariant par changement de base, mais par une transformation orthogonale). Il peut être utilisé pour définir la classe d'Euler d'une variété riemannienne utilisé dans le théorème généralisé de Gauss-Bonnet.

On utilise le pfaffien en physique pour calculer la fonction de partition des modèles d'Ising. On l'utilise depuis peu pour établir des algorithmes plus efficaces pour résoudre des problèmes, par exemple des simulations de physique quantique.

Définition formelle

Soit A = {a_i,j} une matrice antisymétrique 2n×2n. Le pfaffien de A est défini par :

$\mathrm{Pf}(A) = \frac{1}{2^n n!}\sum_{\sigma\in S_{2n}}\mathrm{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^{n}a_{\sigma(2i-1),\sigma(2i)}$

où S_2n est le groupe symétrique et sgn(σ) est la signature de σ.

Simplification

Cette définition peut être simplifiée en utilisant l'antisymétrie de la matrice, ce qui évite d'additionner toutes les permutations possibles.

Soit Π l'ensemble de toutes les partitions de {1, 2, …, 2n} en paires, indépendamment de l'ordre. Il y en a (2n − 1)!!. Un élément α ∈ Π peut être écrit sous la forme :

$\alpha=\{(i_1,j_1),(i_2,j_2),\cdots,(i_n,j_n)\}$

avec i_k < j_k et $i_1 < i_2 < \cdots < i_n$ . Soit

$\pi=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & \cdots & 2n \\ i_1 & j_1 & i_2 & j_2 & \cdots & j_{n} \end{bmatrix}$

la permutation correspondante. Elle ne dépend que de α, indépendamment du choix de π. Étant donnée une partition α,

$A_\alpha =\operatorname{sgn}(\pi)a_{i_1,j_1}a_{i_2,j_2}\cdots a_{i_n,j_n}.$

Le pfaffien de A est alors :

$\operatorname{Pf}(A)=\sum_{\alpha\in\Pi} A_\alpha.$

Le pfaffien d'une matrice antisymétrique n×n pour n impair est défini nul.

Définition alternative

On peut associer, à toute matrice antisymétrique 2n×2n A ={a_ij}, un bivecteur :

$\omega=\sum_{i<j} a_{ij}\;e^i\wedge e^j.$

où {e¹, e², …, e²ⁿ} est la base canonique de R²ⁿ. Le Pfaffien est alors défini par la relation :

$\frac{1}{n!}\omega^n = \mbox{Pf}(A)\;e^1\wedge e^2\wedge\cdots\wedge e^{2n},$

Ici, ωⁿ dénote le produit extérieur de n copies de ω avec lui-même. Le pfaffien apparaît donc comme le coefficient de colinéarité entre ωⁿ et la forme volume de R²ⁿ.

Exemples

$\mbox{Pf}\begin{pmatrix} 0 & a \\ -a & 0 \end{pmatrix}=a.$

$\mbox{Pf}\begin{pmatrix} 0 & a & b & c \\ -a & 0 & d & e \\ -b & -d & 0& f \\-c & -e & -f & 0 \end{pmatrix}=af-be+dc.$

$\mbox{Pf}\begin{pmatrix}\begin{matrix}0 & \lambda_1\\ -\lambda_1 & 0\end{matrix} & 0 & \cdots & 0 \\0 & \begin{matrix}0 & \lambda_2\\ -\lambda_2 & 0\end{matrix} & & 0 \\\vdots & & \ddots & \vdots \\0 & 0 & \cdots & \begin{matrix}0 & \lambda_n\\ \lambda_n & 0\end{matrix}\end{pmatrix} = \lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n.$

Identités remarquables

Identités générales

Pour une matrice A antisymétrique 2n × 2n et une matrice arbitraire 2n × 2n, notée B,

$Pf(A) 2 = det(A)$ (lemme de Thomas Muir)

$Pf(B A B T) = det(B)Pf(A)$

$Pf(λ A) = λ n Pf(A)$

$Pf(A T) = ( - 1) n Pf(A)$

Matrices diagonales par blocs

$A_1\oplus A_2=\begin{pmatrix} A_1 & 0 \\ 0 & A_2 \end{pmatrix}$

Pf(A₁⊕A₂) = Pf(A₁)Pf(A₂).

Matrice n × n quelconque M

$\mbox{Pf}\begin{pmatrix} 0 & M \\ -M^T & 0 \end{pmatrix} = (-1)^{n(n-1)/2}\det M.$

Voir aussi

Références

↑ Thomas Muir, A Treatise on the Theory of Determinants, qui sera réédité et augmenté en 1930

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Pfaffian » (voir la liste des auteurs)

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