Paradoxe de Zénon

Les paradoxes de Zénon forment un ensemble de paradoxes imaginés par Zénon d'Élée pour soutenir la doctrine de Parménide, selon laquelle toute évidence des sens est fallacieuse, et le mouvement est impossible.

Plusieurs des huit paradoxes de Zénon ont traversé le temps (rapportés par Aristote dans la Physique et par Simplicius de Cilicie dans un commentaire à ce sujet) et sont fondamentalement équivalents l'un à l'autre. Certains ont été considérés, même dans des périodes antiques, comme très faciles à réfuter. Trois des plus célèbres et difficiles sont le paradoxe d'Achille et la tortue, celui de la pierre lancée vers un arbre, et celui d'une flèche en vol.

Les paradoxes de Zénon représentaient un problème important pour les philosophes antiques et médiévaux, qui n'ont trouvé aucune solution satisfaisante jusqu'au XVII^e siècle, avec le développement en mathématiques de résultats sur les suites infinies et de l'analyse.

Les paradoxes de Zénon d'Élée

Achille et la tortue

Dans le paradoxe d'Achille et de la tortue, il est dit qu'un jour, le héros grec Achille a disputé une course à pied avec le lent reptile. Comme Achille était réputé être un coureur très rapide, il avait accordé gracieusement à la tortue une avance de cent mètres. Zénon affirme alors que le rapide Achille n'a jamais pu rattraper la tortue. « En effet, supposons pour simplifier le raisonnement que chaque concurrent coure à vitesse constante, l'un très rapidement, et l'autre très lentement ; au bout d'un certain temps, Achille aura comblé ses cent mètres de retard et atteint le point de départ de la tortue ; mais pendant ce temps, la tortue aura parcouru une certaine distance, certes beaucoup plus courte, mais non nulle, disons un mètre. Cela demandera alors à Achille un temps supplémentaire pour parcourir cette distance, pendant lequel la tortue avancera encore plus loin ; et puis une autre durée avant d'atteindre ce troisième point, alors que la tortue aura encore progressé. Ainsi, toutes les fois où Achille atteint l'endroit où la tortue se trouvait, elle se retrouve encore plus loin. Par conséquent, le rapide Achille n'a jamais pu et ne pourra jamais rattraper la tortue ». « Depuis le V^e siècle avant J.-C., écrivent Philippe Boulanger et Alain Cohen dans Le Trésor des Paradoxes (Éd. Belin, 2007), ce paradoxe du mouvement a stimulé les réflexions des mathématiciens, entre autres Galilée, Cauchy, Cantor, Carroll et Russell ». Pour Bergson, « Les philosophes l'ont réfuté de bien des manières et si différentes que chacune de ces réfutations enlève aux autres le droit de se croire définitive ». En analyse moderne, le paradoxe est résolu en utilisant fondamentalement le fait qu'une série infinie de nombres strictement positifs peut converger vers un résultat fini.

Paradoxe de la dichotomie

Ce paradoxe est similaire au paradoxe d'Achille et de la tortue.

Le paradoxe suivant, celui de la pierre lancée vers un arbre, est une variante du précédent. Zénon se tient à huit mètres d'un arbre, tenant une pierre. Il lance sa pierre dans la direction de l'arbre. Avant que le caillou puisse atteindre l'arbre, il doit traverser la première moitié des huit mètres. Il faut un certain temps, non nul, à cette pierre pour se déplacer sur cette distance. Ensuite, il lui reste encore quatre mètres à parcourir, dont elle accomplit d'abord la moitié, deux mètres, ce qui lui prend un certain temps. Puis la pierre avance d'un mètre de plus, progresse après d'un demi-mètre et encore d'un quart, et ainsi de suite ad infinitum et à chaque fois avec un temps non nul. Zénon en conclut que la pierre ne pourra frapper l'arbre qu'au bout d'un temps infini, c'est-à-dire jamais. Cela revient en fait à prétendre que toute série infinie diverge, ce qui est un non-sens mathématique.

La flèche en vol

Dans le paradoxe de la flèche, nous imaginons une flèche en vol. À chaque instant, la flèche se trouve à une position précise. Si l'instant est trop court, alors la flèche n'a pas le temps de se déplacer et reste au repos pendant cet instant. Maintenant, pendant les instants suivants, elle va rester immobile pour la même raison. La flèche est toujours immobile et ne peut pas se déplacer : le mouvement est impossible.

Autres interprétations

Plusieurs philosophes, dont Kant, Hume, et Hegel, ont proposé d'autres solutions à ces paradoxes. Une solution plus simple, d'abord proposée par Leucippe et Démocrite, contemporains de Zénon, est de nier que l'espace soit divisible à l'infini. La théorie atomique va dans ce sens : selon ce modèle, nous pouvons nous déplacer d'un point à l'autre sans recourir aux séries mathématiques infinies. Précisons par ailleurs qu'il est supposé en physique quantique l'existence d'une longueur appelée longueur de Planck égale à environ 10 puissance -33 centimètres en dessous de laquelle il ne peut être fait de mesure significative.

Voir aussi

• Paradoxe
• Dialectique

Liens externes

• Analyse des paradoxes de Zénon
• Modernité des paradoxes de Zénon

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