Paradoxe de Weyl

Le paradoxe de Grelling-Nelson est un paradoxe sémantique formulé en 1908 par Kurt Grelling et Leonard Nelson, et parfois attribué par erreur au philosophe et mathematicien allemand Hermann Weyl. Il est alors appelé paradoxe de Weyl, mais aussi paradoxe de Grelling.

Est nommé hétérologique un mot qui ne se décrit pas lui-même. Par exemple : « long » est un mot hétérologique en ceci qu'il n'est pas « long ».

Ainsi selon cette définition, le mot « hétérologique » est hétérologique si et seulement s’il ne l'est pas.

Ce paradoxe est semblable à celui du menteur. Il repose toutefois sur un usage plus explicite de l'argument diagonal.

Toute classification binaire par un discriminateur donné crée automatiquement quatre classes dont quelques-unes peuvent être vides :

• le discriminateur répond positivement ("court" est autologique)
• le discriminateur répond négativement ("long" n'est pas autologique)
• le discriminateur ne peut répondre parce qu'on est en dehors de son domaine de définition (un substantif ou un verbe ne sera ni autologique, ni hétérologique, sauf cas particulier comme le mot "existe", qui existe)
• le discriminateur ne peut répondre pour certains opérandes, pour des raisons cette fois-ci sémantiques et non syntaxiques. Ceux-ci sont donc à exclure de son domaine de définition (comme le 0 en dénominateur pour l'opération de division).

On peut répondre à ce paradoxe d'une autre manière par la logique floue en remarquant que la proposition A, "hétérologique est hétérologique", est indéterminée, de valeur de vérité 1 / 2.

On s'aperçoit alors que le cas de l'adjectif hétérologique n'est pas unique et que l'on peut construire d'autres adjectifs exceptionnels ne pouvant être classés en hétérologiques ou autologiques.

Pour nous convaincre de cela, il nous faut réfléchir à ce qui fait « l'existence » d'un mot. Un mot n'existe que par sa manifestation sur un support matériel, comme la page d'un livre ou l'enregistrement d'un discours où il est prononcé, où bien encore la mémoire d'un être humain qui le connait ainsi que, de manière éphémère, chaque fois qu'il est prononcé. Aussi, on peut affirmer qu'à un moment donné, les manifestations d'un mot sont en nombre fini.

On peut alors imaginer des adjectifs nouveaux signifiant « être bien orthographié » et « être imprimé en noir » : en anglais, cela donnerait « wellspelt » et « blackprinted ». Ces nouveaux adjectifs, comme bien d'autres que l'on pourrait former ont la particularité de qualifier les mots eux-mêmes : ils sont donc autoréférents.

Les manifestations d'un mot étant toujours en nombre fini, rien n'interdit donc d'évaluer pour chacune de ses manifestations s'il est imprimé en noir ou bien orthographié et d'en déduire une valeur de vérité des propositions P, « wellspelt is wellspelt », ou Q, « blackprinted is blackprinted » calculée par énumération. Pour cela, il suffit de se limiter à l'ensemble des documents écrits d'une bibliothèque par exemple.

Dans cette bibliothèque particulière, nous pourrons alors trouver que « blackprinted » apparaît imprimé seulement dix fois, dont huit en noir, ce qui donne une valeur de vérité de 0,8 à Q :

v(Q) = ( 2 × 0 + 8 × 1 ) / 10 = 0,8

Si maintenant nous incluons les documents audiovisuels pour estimer la valeur de vérité de Q, il se peut que « blackprinted » soit présent dix fois sur les enregistrements et cette fois la valeur de vérité de Q sera 0,65 :

v(Q) = ( 2 × 0 + 8 × 1 + 10 × 1 / 2 ) / 20 = 0,65

En effet, la proposition Q sera indéterminée, donc de valeur de vérité 1 / 2, pour les dix occurrences audio de « blackprinted » puisque dans ce cas, le mot n'est pas imprimé.

Ainsi, vu de cette manière, "blackprinted" et "wellspelt" ne sont ni hétérologiques, ni autologiques et l'on s'aperçoit que la valeur de vérité d'une proposition telle que "l'adjectif X est autologique" peut varier continument entre 0 et 1.

En effet, on ne peut pas dire que "blackprinted" doive être exclus du domaine de définition de l'adjectif autologique lorsque l'on considère l'existence d'un mot au travers de son support matériel.

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