Paradoxe d'achille et de la tortue

Paradoxe d'achille et de la tortue

Paradoxe d'Achille et de la tortue

Dans le paradoxe d'Achille et de la tortue, formulé par Zénon d'Élée, il est dit qu'un jour, le héros grec Achille a disputé une course à pied avec le lent reptile. Comme Achille était réputé être un coureur très rapide, il avait accordé gracieusement à la tortue une avance de cent mètres.

Zénon d'Élée affirme alors que le rapide Achille n'a jamais pu rattraper la tortue. « En effet, supposons pour simplifier le raisonnement que chaque concurrent court à vitesse constante, l'un très rapidement, et l'autre très lentement ; au bout d'un certain temps, Achille aura comblé ses cent mètres de retard et atteint le point de départ de la tortue ; mais pendant ce temps, la tortue aura parcouru une certaine distance, certes beaucoup plus courte, mais non nulle, disons un mètre. Cela demandera alors à Achille un temps supplémentaire pour parcourir cette distance, pendant lequel la tortue avancera encore plus loin ; et puis une autre durée avant d'atteindre ce troisième point, alors que la tortue aura encore progressé. Ainsi, toutes les fois qu'Achille atteint l'endroit où la tortue se trouvait, elle se retrouve encore plus loin. Par conséquent, le rapide Achille n'a jamais pu et ne pourra jamais rattraper la tortue ».

Résolution

En analyse moderne, le paradoxe est résolu en utilisant fondamentalement le fait qu'une série infinie de nombres strictement positifs peut converger vers un résultat fini.

En l'occurrence, ce paradoxe fonctionne en découpant un événement d'une durée finie (Achille rattrape la tortue) en une infinité d'événements de plus en plus brefs (par exemple, Achille fait 99% de la distance manquante). Ensuite, l'erreur mathématique introduite dans le paradoxe consiste à affirmer que la somme de cette infinité d'événements de plus en plus brefs tend vers l'infini, c'est-à-dire qu'Achille n'arrive jamais (temps infini) à rattraper la tortue.

Numériquement, admettons que chaque étape est 100 fois plus brève que la précédente. Si l'on considère que la première étape a pris 10 secondes, alors la suivante a pris 0,1 seconde et on obtient la série suivante : T = 10 + 0,1 + 0,001 + 0,00001… = 10,10101… secondes. Ce paradoxe montre donc simplement qu'Achille ne peut pas rejoindre la tortue en moins de 10,10 secondes. Mathématiquement, on peut écrire la somme sous cette forme :

T = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{10}{100^n}

Il s'agit d'une série géométrique de raison 1100 et de terme initial 10. Ceci nous assure de sa convergence :

T = \frac{10}{1-\frac{1}{100}} = \frac{1000}{99} = 10{,}\overline{10}

On notera aussi qu'à travers ce paradoxe, existe une volonté de montrer que l'infiniment petit n'existe pas. Pensée également partagée par Démocrite, l'inventeur de la notion d'atome. La physique quantique va elle aussi dans ce sens en admettant l'existence d'une unité de temps et d'une unité de taille toutes deux indivisibles (approximativement 10-44 secondes et 10-33 mètres). Cette hypothèse de non-nexistence de l'infiniment petit n'est cependant pas nécessaire à la solution analytique du problème. La série mathématique considérée converge, que l'on considère le temps comme discret ou continu.

Source

Voir aussi

  • Portail de la philosophie antique Portail de la philosophie antique
  • Portail de la philosophie Portail de la philosophie
  • Portail de la Grèce antique Portail de la Grèce antique
  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « Paradoxe d%27Achille et de la tortue ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Paradoxe d'achille et de la tortue de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем написать реферат

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Paradoxe d'Achille et de la tortue — Dans le paradoxe d Achille et de la tortue, formulé par Zénon d Élée, il est dit qu un jour, le héros grec Achille a disputé une course à pied avec le lent reptile. Comme Achille était réputé être un coureur très rapide, il avait accordé… …   Wikipédia en Français

  • Achille et la Tortue — Données clés Titre original Akiresu to kame Réalisation Takeshi Kitano Scénario Takeshi Kitano Acteurs principaux Beat Takeshi Kanako Higuchi Omori Nao Ren Osugi …   Wikipédia en Français

  • Paradoxe de la fleche — Paradoxe de la flèche Le paradoxe de la flèche est un paradoxe formulé par Zénon d Élée pendant l Antiquité : Imaginons une flèche en vol. À chaque instant, la flèche se trouve à une position précise. Si l instant est trop court, alors la… …   Wikipédia en Français

  • Paradoxe de Zénon — Paradoxes de Zénon Les paradoxes de Zénon forment un ensemble de paradoxes imaginés par Zénon d Élée pour soutenir la doctrine de Parménide, selon laquelle toute évidence des sens est fallacieuse, et le mouvement est impossible. Plusieurs des… …   Wikipédia en Français

  • Paradoxe —  Pour l’article homophone, voir Paradox. Les « cubes impossibles » de M. Escher sont des représentations graphiques paradoxales. Un paradoxe, d après l étymologie (d …   Wikipédia en Français

  • Paradoxe de la flèche — Le paradoxe de la flèche est un paradoxe formulé par Zénon d Élée pendant l Antiquité : Une flèche lancée est toujours immobile : en effet, tout corps est soit en mouvement soit en repos quand elle se trouve dans un espace égal à son… …   Wikipédia en Français

  • Le Lievre et la Tortue — Le Lièvre et la Tortue Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. Le lièvre tentant …   Wikipédia en Français

  • Le Lièvre Et La Tortue — Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. Le lièvre tentant …   Wikipédia en Français

  • Le Lièvre et la tortue — Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. Le lièvre tentant …   Wikipédia en Français

  • Le lièvre et la tortue — Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. Le lièvre tentant …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”