Paradoxe d'Ehrenfest

Le paradoxe d'Ehrenfest est un paradoxe constaté dans l'étude des repères tournants et plus spécialement ici dans l'étude des disques tournants. Lorsque l'on prend en compte la relativité restreinte on constate que la géométrie semble différente dans le repère inertiel et dans le repère tournant alors qu'il s'agit du même espace physique.

On montre (voir l'effet Sagnac) que la circonférence d'un disque tournant est différente vue dans le repère inertiel R et dans le repère attaché R' attaché au disque tournant à cause de la contraction de Lorentz.

Mais comme le rayon du disque est perpendiculaire au mouvement de rotation, il ne subit pas de contraction de Lorentz.

Par conséquent, le rapport L / R entre le périmètre et le rayon est différent de 2π dans un des deux repères.

R étant un repère inertiel, l'espace est euclidien, comme le montre la relativité restreinte (contrairement à l'espace-temps qui n'est pas euclidien mais de Minkowski). Et le disque, en rotation ou pas, est un cercle obéissant à la géométrie d'Euclide avec un rapport L / R = 2π. C'est la relation entre la circonférence du disque et son rayon, que nous avons tous vu à l'école.

Et donc :

C'est le paradoxe d'Ehrenfest : dans un repère en rotation, le rapport entre la circonférence et le diamètre est différent de π. Si la géométrie était euclidienne dans R', le disque serait "voilé" ou "déchiré".

Mais il ne l'est pas, d'une part parce que nous considérons une rotation "en bloc" mais surtout parce que ce disque est "virtuel" : ce qui nous importe c'est le repère en rotation, le système de coordonnées en rotation, et non spécialement un disque physique que l'on mettrait en rotation à grande vitesse. D'ailleurs un observateur O' placé au bord du disque peut très bien tourner en cercle sans avoir besoin de ce disque !

La géométrie n'est donc pas euclidienne dans R' !

Avec les raisonnements simples vus dans l'effet Sagnac, on constate que la circonférence est plus grande dans R'. La géométrie y est donc hyperbolique.

La géométrie étant non euclidienne, il est difficile de garantir que diviser la longueur du cercle (considéré d'un point de vue euclidien) par le temps de parcours autour du cercle conduit bien à une vitesse identique à une vitesse mesurée localement. Cela justifie le terme de vitesse apparente qui a été utilisé dans l'article sur l'effet Sagnac.

D'autre part, le mot paradoxe est bien choisi car un des postulats utilisé dans ces raisonnements simples, mais aussi en relativité restreinte, est que l'espace est euclidien. Toutefois, rappelons-nous que la relativité restreinte est construite pour des repères inertiels (ou accélérés dans des domaines infinitésimaux où il est toujours possible de trouver un espace plat tangent, tout comme il existe toujours une droite tangente en un point du cercle). Il se peut que pour des repères accélérés ce postulat ne soit pas tenable.

Au tout début nous avons dit que le paradoxe tenait au fait que l'espace physique considéré (l'espace occupé par le disque) était le même dans les deux repères. Mais en réalité, nous savons qu'en relativité restreinte nous ne pouvons pas séparer arbitrairement l'espace du temps. Ainsi, ce qui est identique pour les deux repères est l'espace-temps physique constitué du continuum d'événements (par exemple le passage de O' en un point donné à un instant donné) et décrit par la géométrie de Minkowski. Nous n'avons aucune garantie que, en considérant uniquement la partie spatiale de l'espace-temps, l'espace reste euclidien dans R'.

L'analyse approfondie de ce qui se passe peut être trouvée dans le calcul de l'effet Sagnac en relativité restreinte et dans la géométrie de l'espace-temps dans les repères tournants.

Voir aussi

• L'effet Sagnac
• Le paradoxe de Selleri
• La synchronisation dans les repères tournants
• Le calcul de l'effet Sagnac en relativité restreinte
• La géométrie de l'espace-temps dans les repères tournants
• Le paradoxe des jumeaux et l'effet Sagnac
• Les espaces compacts
• Le paradoxe des jumeaux dans les espaces compacts
• La relativité restreinte
• La relativité générale
• Le principe de relativité
• Le paradoxe des jumeaux

Bibliographie

• Théorie de la Relativité Restreinte, V. Ougarov, Deuxième Edition, Editions Mir, Moscou. Traduction française Editions Mir, 1979.

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