Opérateur unitaire
- Opérateur unitaire
-
En analyse fonctionnelle, un opérateur unitaire est un opérateur linéaire U d'un espace de Hilbert satisfaisant les conditions :
- U * U = UU * = I
où U * est l'adjoint de U, et I l'opérateur identité. Cette propriété est équivalente à :
- U est un opérateur à domaine dense, et
- U préserve le produit scalaire < , > sur l'espace de Hilbert. Autrement dit, pour tous vecteurs x et y de l'espace de Hilbert,
Le fait que U préserve le produit scalaire implique que U est une isométrie (et donc un opérateur linéaire). Le fait que U possède un domaine dense assure que son inverse U-1 est borné. Il est clair que U-1 = U*.
Par conséquent, les opérateurs unitaires apparaissent comme des isomorphismes de l'espace de Hilbert, c’est-à-dire qu'ils en préservent la structure et la topologie.
Exemples
- Dans l'espace vectoriel C des nombres complexes, la multiplication par un nombre complexe de module 1 (c.a.d un nombre de la forme ei θ pour θ ∈ R), est un opérateur unitaire. La valeur de θ modulo 2π n'affecte pas le résultat de la multiplication, et par conséquent les opérateurs unitaires de C sont paramétrés par un cercle. Le groupe correspondant, dont l'ensemble est le cercle unité, est appelé U(1).
- Plus généralement, les matrices unitaires sont très exactement les opérateurs unitaires pour les espaces de Hilbert de dimension finie; par conséquent la notion d'opérateur unitaire est une généralisation de la notion de matrice unitaire. Les matrices orthogonales sont un cas particulier des matrices unitaires, pour lesquelles tous les coefficients sont réels. Ce sont les opérateurs unitaires de Rn.
Propriétés
Le spectre d'un opérateur unitaire U est inclus dans le cercle unité. Autrement dit, pour tout nombre complexe λ du spectre, |λ|=1. C'est une conséquence du théorème spectral pour les opérateurs normaux.
Article connexe
Transformation unitaire
Wikimedia Foundation.
2010.
Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Opérateur unitaire de Wikipédia en français (auteurs)
Regardez d'autres dictionnaires:
Operateur unitaire — Opérateur unitaire En analyse fonctionnelle, un opérateur unitaire est un opérateur linéaire U d un espace de Hilbert satisfaisant les conditions : U * U = UU * = I où U * est l adjoint de U, et I l opérateur identité. Cette propriété est… … Wikipédia en Français
opérateur unitaire — unitarinis operatorius statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. unitary operator vok. unitärer Operator, m rus. унитарный оператор, m pranc. opérateur unitaire, m … Fizikos terminų žodynas
Operateur d'evolution — Opérateur d évolution En mécanique quantique, l opérateur d évolution est l opérateur qui transforme l état quantique au temps t0 en l état quantique au temps t résultant de l évolution du système sous l effet de l opérateur hamiltonien. Sommaire … Wikipédia en Français
Unitaire — Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. Sur les autres projets Wikimedia : « Unitaire », sur le Wiktionnaire (dictionnaire universel) L adjectif unitaire est employé : en… … Wikipédia en Français
Opérateur d'évolution — En mécanique quantique, l opérateur d évolution est l opérateur qui transforme l état quantique au temps t0 en l état quantique au temps t résultant de l évolution du système sous l effet de l opérateur hamiltonien. Sommaire 1 Position du… … Wikipédia en Français
Operateur borne — Opérateur borné En mathématiques, la notion d opérateur borné est un concept d analyse fonctionnelle. Il s agit d une application linéaire L entre deux espaces vectoriels normés X et Y telle que l image de la boule unité de X est une partie… … Wikipédia en Français
Operateur de marche — Opérateur de marché Un opérateur de marché, communément appelé trader, est une personne qui passe couramment des ordres d achat et de vente d actifs et contrats financiers sur un marché organisé ou de gré à gré. Sommaire 1 Les objectifs… … Wikipédia en Français
Opérateur adjoint — En mathématiques l adjoint d un opérateur, quand il existe, est un nouvel opérateur défini sur un espace vectoriel sur le corps des nombres réels ou complexes, muni d un produit scalaire. Un tel espace est qualifié de préhilbertien. Si l… … Wikipédia en Français
Opérateur borné — En mathématiques, la notion d opérateur borné est un concept d analyse fonctionnelle. Il s agit d une application linéaire L entre deux espaces vectoriels normés X et Y telle que l image de la boule unité de X est une partie bornée de Y. On… … Wikipédia en Français
Opérateur matriciel — Matrice (mathématiques) Pour les articles homonymes, voir Matrice. En mathématiques, les matrices servent à interpréter en termes calculatoire … Wikipédia en Français
