Opérateur d'évolution

Opérateur d'évolution

En mécanique quantique, l'opérateur d'évolution est l'opérateur qui transforme l'état quantique au temps t0 en l'état quantique au temps t résultant de l'évolution du système sous l'effet de l'opérateur hamiltonien.

Sommaire

Position du problème

On considère un hamiltonien composé de deux termes :

 \hat H = \hat H_0 + \hat V(t)

où la dépendance temporelle est contenu dans  \hat V(t) .

Quand  \hat V(t) = 0 , le système est complètement connu par ses kets  |n \rangle propres et ses valeurs propres En :

 \hat H_0 |n \rangle = E_n |n \rangle

Définition

Cet opérateur est noté U(t,t0) et on a la relation, qui donne l'état du système au temps t à partir du temps initial t0 :

 \mid \psi(t) \rangle=U(t,t_0) \mid \psi (t_0) \rangle

  •  | \psi(t) \rangle représente le ket au temps t
  •  | \psi(t_0) \rangle représente le ket au temps t0

Pour le bras, on a alors la relation suivante :

 \langle \psi(t) | = \langle \psi(t_0) |U^{\dagger}(t,t_0)

Propriétés

L'opérateur a les propriétés suivantes:

  1. C'est un opérateur linéaire
  2. U(t0,t0) = 1
  3. U(t2,t1)U(t1,t0) = U(t2,t0)
  4. U(t,t0) est un opérateur unitaire (U^\dagger U=U U^\dagger=1).

Les trois premières propriétés sont des conséquences évidentes de l'équation d'évolution du premier ordre. La dernière propriété vient de ce que la probabilité totale doit etre conservée par l'équation d'évolution.

Comme le système est donné par l'équation de Schrödinger, on a :

 i\hbar \frac{\partial }{\partial t} | \psi (t) \rangle = \hat H  | \psi (t) \rangle , soit :
 i\hbar \frac{\partial U(t,t_0)}{\partial t} = \hat H U(t,t_0)

Dans le cas d'un système quantique dont l'opérateur Hamiltonien \hat H est indépendant du temps, l'opérateur d'évolution s'écrit alors :

 U(t,t_0)=e^{-\frac i \hbar \hat H(t-t_0)}

Pour un système dont le Hamiltonien est dépendant du temps, on peut résoudre par itération l'équation différentielle satisfaite par l'opérateur U. On obtient:

 U(t,t_0)=1-\frac i \hbar \int_{t_0}^t \hat H(t_1) dt_1 +\frac {i^2}{\hbar^2} \int_{t_0}^t dt_1 \int _{t_0}^{t_1} \hat H(t_1) \hat H(t_2) + \ldots +\frac{i^n}{\hbar^n} \int_{t_0}^t dt_1 \ldots \int_{t_0}^{t_{n-1}} dt_n \hat H(t_1) \ldots \hat H(t_n)

L'écriture de cette expression peut etre simplifiée en introduisant l'opérateur de produit chronologique tel que:

 T(\hat H(t_1) \ldots \hat H(t_n)) = \hat H(t_{\sigma(1)}) \hat H(t_{\sigma(2)}) \ldots \hat H(t_{\sigma(n)})

où dans le membre de gauche l'ordre des temps est quelconque, et dans le membre de droite le permutation σ de l'ensemble \lbrace 1,\ldots,n\rbrace est telle que :t_{\sigma(1)}>t_{\sigma(2)}>\ldots >t_{\sigma(n)}.

On a alors:

 U(t,t_0)=T \exp\left(-\frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^t dt' \hat H(t')\right)

Cette relation est utilisée en théorie quantique des champs pour la construction des diagrammes de Feynman.

Lien avec les autres représentations

L'opérateur d'évolution permet d'établir l'équivalence entre la représentation de Schroedinger et la représentation de Heisenberg. Dans la représentation de Schrödinger, les opérateurs sont indépendants du temps et les états sont dépendants du temps. Dans la représentation de Heisenberg, les opérateurs sont dépendants du temps et les états indépendants du temps. Le passage d'une représentation à l'autre se fait au moyen de l'opérateur d'évolution :

 \mid \psi \rangle_S(t)=U(t,0)\mid \psi \rangle_H
 A_H(t)=U^\dagger(t,0) A_S U(t,0)
Représentation :
Heisenberg Interaction Schrödinger
Ket constant |\Psi(t)\rangle_I = U_0^{-1} |\Psi(t)\rangle_S |\Psi(t)\rangle_S = U |\Psi(t_0)\rangle_S
Observable AH(t) = U − 1ASU A_I (t)=U_0^{-1} A_S U_0 constant
Opérateur d'évolution  \hat H = \hat H_0 + \hat V(t) U(t,t_0) = e^{-\frac i \hbar \hat H(t-t_0)}
U_0(t,t_0) = e^{-\frac i \hbar \hat H_0(t-t_0)}
Mécanique quantique  : Théorème d'EhrenfestÉquation de SchrödingerPropagateur

Bibliographie

  • Albert Messiah, Mécanique quantique [détail des éditions]
  • J. L. Basdevant, J. Dalibard, Mécanique quantique [détail des éditions]
  • C. Cohen-Tannoudji, B. Diu et F. Laloë, Mécanique quantique [détail des éditions]
  • Lev Landau et Evguéni Lifchitz, Physique théorique, tome 3 : Mécanique quantique, éd. MIR, Moscou [détail des éditions]
  • Lev Landau et Evguéni Lifchitz, Physique théorique, tome 4 : Électrodynamique quantique, éd. MIR, Moscou [détail des éditions]
  • N. M. Bogoliubov et D. V. Shirkov, Introduction à la théorie des champs quantifiés (Dunod)
  • D. Kastler, Électrodynamique Quantique (Dunod)

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