Opérateur différentiel

Opérateur différentiel

Un opérateur différentiel est un opérateur agissant sur des fonctions différentiables.

  • Lorsque la fonction est à une seule variable, l'opérateur différentiel est construit à partir des dérivées ordinaires.
  • Lorsque la fonction est à plusieurs variables, l'opérateur différentiel est construit à partir des dérivées partielles.

Sommaire

Notations

Soit Ω un ouvert de \R^n, et x un point de Ω. On introduit les n coordonnées xk (k = 1,...,n). Supposons que l'on ait une fonction des n variables : xk.

Dérivées du premier ordre

Pour simplifier les écritures, on note usuellement la dérivée partielle première par rapport à la coordonnée xk par le symbole :

\partial_k \ = \ \frac{\partial ~~}{\partial x_k}

On est également amené à introduire l'opérateur différentiel Dk du premier ordre défini par :

\mathrm D_k \ = \ - \ i \ \partial_k \ = \ - \ i \ \frac{\partial ~~}{\partial x_k}

Dans cette définition, i est la « racine de l'unité » complexe : i2 = − 1. L'intérêt de définir cet opérateur Dk apparaitra plus tard, en relation avec la transformée de Fourier.

On utilise les notations sous forme de multi-indices : un multi-indice α est un n-uplet d'entiers

\alpha \ = \ \left( \alpha_1, \ \dots, \ \alpha_n \right) \ ; \quad \ \alpha_k \, \in \, \mathbb{N}

Sa longueur | α | est définie comme la somme des αi et on définit enfin la multi-factorielle :

\alpha \, ! \ = \ \prod_{k=1}^n ( \, \alpha_k \, ! \, ) \ = \ \alpha_1 \, ! \ \times \ \dots \ \times \ \alpha_n \, !

Dérivées d'ordres plus élevés

  • La dérivée partielle d'ordre αk par rapport à la coordonnée xk correspond au symbole :
    \partial^{\alpha_k}_k
  • On définit alors les dérivées partielles, d'ordre global | α |  :
    \partial^{\alpha} \ = \ \partial^{\alpha_1}_1 \ \dots \ \partial^{\alpha_n}_n
  • Et les opérateurs différentiels Dα, d'ordre global | α |  :
    \mathrm D^{\alpha} \ = \ \mathrm D^{\alpha_1}_1 \ \dots \ \mathrm D^{\alpha_n}_n

Définition d'un opérateur différentiel

Définition

Un opérateur différentiel linéaire d'ordre m est défini par :

\mathfrak{D} \ = \ \sum_{|\alpha| = 0}^m \ a_{\alpha}(x) \ \mathrm D^{\alpha}

où les aα(x) sont des fonctions de n variables, appelées coefficents de l'opérateur \mathfrak{D}.

Propriété de localité

Un opérateur différentiel \mathfrak{D} est local au sens où, pour déterminer ses effets \mathfrak{D} \, f(x) sur une fonction f(x) suffisamment différentiable, seule la connaissance de la fonction dans le voisinage du point x est nécessaire.

Transformée de Fourier

Introduction de la transformée de Fourier

On définit ici la transformée de Fourier de la fonction f(x) de n variables xk (k = 1,...,n) par :

\hat{f}(\xi) \ = \ \int_{\mathbb{R}^n} \mathrm dx \ e^{- \, i \, < \, \xi \, , \, x \, >} \ f(x)

Dans cette définition :

  • on note ξ le n-uplet constitué des variables : ξk (k = 1,...,n).
  • la mesure est : \mathrm dx = \prod_{k=1}^{n} \mathrm dx_k .
  • le facteur <\xi \, , \, x> dans l'exponentielle oscillante désigne le produit scalaire :<\xi \, , \, x> = \sum_{k=1}^{n} x_k \, \xi_k.

La formule de transformation inverse s'écrit alors :

f(x) \ = \ \int_{\mathbb{R}^n} \mathrm d \tilde{\xi} \ e^{+ \, i \, < \, \xi , \, x \, >} \ \hat{f}(\xi)

où la mesure est : \mathrm d \tilde{\xi} \ = \ \frac{\mathrm d \xi}{(2\pi)^n} \quad avec \mathrm d\xi = \prod_{k=1}^{n} \mathrm d\xi_k .

Application aux opérateurs différentiels

Appliquons l'opérateur différentiel \mathrm D_k = - \, i \, \partial_k à la représentation de Fourier de la fonction f(x). En supposant qu'on puisse intervertir la dérivation et l'intégration, on obtient :

\mathrm D_k \, f(x) \ = \ \int_{\mathbb{R}^n} \mathrm d \tilde{\xi} \ \left( \ - \ i \ \partial_k \ e^{+ \, i \, < \, \xi \, , \, x \, >} \ \right) \ \hat{f}(\xi) \ = \ \int_{\mathbb{R}^n} \mathrm d \tilde{\xi} \ e^{+ \, i \, < \, \xi \, , \, x \, >} \ \xi_k \ \hat{f}(\xi)

qu'on peut écrire : (\widehat{\mathrm D_k \, f})(\xi) = \xi_k \ \hat{f}(\xi). On en déduit que :

(\widehat{\mathrm D^{\alpha} \, f})(\xi) \ = \ \xi^{\alpha} \ \hat{f}(\xi)

où : \xi^{\alpha} = \xi_1^{\alpha_1} \ \times \ \dots \ \times \ \xi_n^{\alpha_n}. L'opérateur différentiel \mathfrak{D} d'ordre m vérifie donc la relation :

(\mathfrak{D} \,f)(x) \ = \ \sum_{|\alpha| = 0}^m \ a_{\alpha}(x) \ \int_{\mathbb{R}^n} \mathrm d \tilde{\xi} \ e^{+ \, i \, < \, \xi \, , \, x \, >} \ \xi^{\alpha} \ \hat{f}(\xi)

On peut intervertir la somme et l'intégrale pour écrire :

(\mathfrak{D} \,f)(x) \ = \ \int_{\mathbb{R}^n} \mathrm d \tilde{\xi} \ e^{+ \, i \, < \, \xi \, , \, x \, >} \ \left( \ \sum_{|\alpha| = 0}^m \ a_{\alpha}(x) \ \xi^{\alpha} \ \right) \ \hat{f}(\xi)

Symbole d'un opérateur différentiel

On appelle symbole de l'opérateur différentiel \mathfrak{D} d'ordre m la fonction σ(x,ξ) des 2n variables (x,ξ) polynomiale en ξ de degré m :

\sigma (x,\xi) = \sum_{|\alpha| = 0}^m \ a_{\alpha}(x) \ \xi^{\alpha}

de telle sorte que :

(\mathfrak{D} \,f)(x) \ = \ \int_{\mathbb{R}^n} \mathrm d \tilde{\xi} \ e^{+ \, i \, < \, \xi \, , \, x \, >} \ \sigma (x,\xi) \ \hat{f}(\xi)

On constate que cette formule pourrait en fait permettre de définir l'opérateur \mathfrak{D} à partir de son symbole σ. Cette idée sera mise à profit dans la théorie des opérateurs pseudo-différentiels.

Attention : pour un opérateur différentiel dont les coefficients aα(x) ne sont pas constants, le symbole σ(x,ξ) dépend des coordonnées d'espace x, et l'expression \sigma(x,\xi) \, \hat{f}(\xi) n'est pas la transformée de Fourier de (\mathfrak{D} \, f)(x), c’est-à-dire que :

(\widehat{\mathfrak{D} \, f})(\xi) \ \ne \ \sigma (x,\xi) \ \hat{f}(\xi)

La formule correcte de la transformée de Fourier est calculée dans le paragraphe « Cas général ».

Symbole principal d'un opérateur différentiel

On appelle symbole principal de l'opérateur différentiel \mathfrak{D} d'ordre m la fonction  :

\sigma_m (x,\xi) = \sum_{|\alpha| = m} \ a_{\alpha}(x) \ \xi^{\alpha}

Classification des opérateurs différentiels

Opérateur elliptique

L'opérateur différentiel \mathfrak{D} est dit elliptique au point x \ \in \ \Omega si et seulement si :

\forall \ \xi \ \in \ \R^n \backslash \{ 0\} \ , \quad \sigma_m (x, \xi) \ \ne \ 0

\mathfrak{D} est dit elliptique dans Ω s'il est elliptique pour tout point x \ \in \ \Omega.

Opérateur hyperbolique

L'opérateur différentiel \mathfrak{D} est dit hyperbolique dans la direction η au point x \ \in \ \Omega si et seulement si : \sigma_m (x, \eta) \ne 0 et si, pout tout ξ non colinéaire à η, les racines λi de l'équation :

\sigma_m (x, \ \xi \ + \ \lambda \, \eta) \ = \ 0

sont toutes réelles. Si, de plus, les m racines réelles sont toutes distinctes, l'opérateur \mathfrak{D} est dit strictement hyperbolique dans la direction η.

\mathfrak{D} est dit (strictement) hyperbolique dans la direction η dans Ω s'il est strictement hyperbolique dans la direction η pour tout point x \ \in \ \Omega.

Exemples importants pour la physique théorique

La physique théorique fait un usage abondant de trois opérateurs d'ordre 2 :

Opérateur laplacien

L'opérateur laplacien est un opérateur elliptique, qui s'écrit :

  • en coordonnées cartésiennes dans \R^n :
    \Delta \ = \ \sum_{k=1}^n \ \frac{\partial^2 ~~}{\partial x_k^2}
  • soit en coordonnées cartésiennes tridimensionnelles :
    \Delta \ = \ \frac{\partial^2 ~~}{\partial x^2} \ + \ \frac{\partial^2 ~~}{\partial y^2} \ + \ \frac{\partial^2 ~~}{\partial z^2}

Cet opérateur est notamment utilisé en mécanique newtonienne, en électromagnétisme, et en mécanique quantique non relativiste.

Opérateur d'alembertien

L'opérateur d'alembertien est un opérateur hyperbolique, qui s'écrit en coordonnées cartésiennes (x,t) dans \R^{n+1} :

\Box \ = \ \frac{1}{c^2} \ \frac{\partial^2 ~~}{\partial t^2} \ - \ \Delta

où Δ est le laplacien à n variables d'espace, t est le temps, et c une constante positive, homogène à une vitesse. Cet opérateur est utilisé pour décrire la propagation des ondes à la vitesse c dans l'espace-temps. Il est notamment utilisé en acoustique, en électromagnétisme, et en théorie quantique des champs.

Opérateur de la chaleur

L'opérateur de la chaleur, qui s'écrit en coordonnées cartésiennes (x,t) dans \R^{n+1} :

\frac{\partial ~}{\partial t} \ - \ \tilde{D} \ \Delta

où Δ est le laplacien à n variables d'espace, t est le temps, et \tilde{D} est ici une constante, appelée coefficient de diffusion. Cet opérateur est dit parabolique.

Article connexe : équation de la chaleur.

Opérateur différentiel à coefficients constants

Si les coefficients aα sont indépendants des n variables d'espace xk, le symbole de l'opérateur différentiel \mathfrak{D} d'ordre m est seulement une fonction σ(ξ) des n variables ξ polynomiale en ξ :

\sigma (\xi) = \sum_{|\alpha| = 0}^m \ a_{\alpha} \ \xi^{\alpha}

de telle sorte que :

(\widehat{\mathfrak{D} \, f})(\xi) \ = \ \sigma (\xi) \ \hat{f}(\xi)

Le symbole principal de l'opérateur différentiel \mathfrak{D} d'ordre m à coefficients constants est la fonction des n variables ξ :

\sigma_m (\xi) = \sum_{|\alpha| = m} \ a_{\alpha} \ \xi^{\alpha}

Cas général

On a vu que plus haut :

(\mathfrak{D} \,f)(x) \ = \ \int_{\mathbb{R}^n} \mathrm d \tilde{\xi} \ e^{+ \, i \, < \, \xi \, , \, x \, >} \ \sigma (x,\xi) \ \hat{f}(\xi)

Pour un opérateur différentiel dont les coefficients aα(x) ne sont pas constants, le symbole σ(x,ξ) dépend des coordonnées d'espace x, et on a  :

(\widehat{\mathfrak{D} \, f})(\xi) \ \ne \ \sigma (x,\xi) \ \hat{f}(\xi)

Expression de la transformée de Fourier

Partons de la relation générale :

(\mathfrak{D} \,f)(x) \ = \ \sum_{|\alpha| = 0}^m \ a_{\alpha}(x) \ \int_{\mathbb{R}^n} \mathrm d \tilde{\xi} \ e^{+ \, i \, < \, \xi \, , \, x \, >} \ \xi^{\alpha} \ \hat{f}(\xi)

Si l'on introduit la transformée de Fourier des coefficients :

a_{\alpha}(x) \ = \ \int_{\mathbb{R}^n} \mathrm d \tilde{\eta} \ e^{+ \, i \, < \, \eta \, , \, x \, >} \ \hat{a}_{\alpha}(\eta)

on obtient :

(\mathfrak{D} \,f)(x) \ = \ \sum_{|\alpha| = 0}^m \ \int_{\mathbb{R}^n} \mathrm d \tilde{\eta} \ e^{+ \, i \, < \, \eta \, , \, x \, >} \ \hat{a}_{\alpha}(\eta) \ \times \ \int_{\mathbb{R}^n} \mathrm d \tilde{\xi} \ e^{+ \, i \, < \, \xi \, , \, x \, >} \ \xi^{\alpha} \ \hat{f}(\xi)

soit :

(\mathfrak{D} \,f)(x) \ = \ \sum_{|\alpha| = 0}^m \ \int_{\mathbb{R}^n} \mathrm d \tilde{\eta} \ \int_{\mathbb{R}^n} \mathrm d \tilde{\xi} \ e^{+ \, i \, < \, (\xi + \eta ) \, , \, x \, >} \ \hat{a}_{\alpha}(\eta) \ \xi^{\alpha} \ \hat{f}(\xi)

A ξ fixé, on fait le changement de variable : \eta \to t = \xi + \eta, ce qui donne :

(\mathfrak{D} \,f)(x) \ = \ \sum_{|\alpha| = 0}^m \ \int_{\mathbb{R}^n} \mathrm d \tilde{t} \ e^{+ \, i \, < \, t \, , \, x \, >} \ \int_{\mathbb{R}^n} \mathrm d \tilde{\xi} \ \hat{a}_{\alpha}(t - \xi) \ \xi^{\alpha} \ \hat{f}(\xi)

On reconnait le produit de convolution :

\left( \, \hat{a}_{\alpha} \ * \ \xi^{\alpha} \ \hat{f} \, \right)(t) \ = \ \int_{\mathbb{R}^n} \mathrm d \tilde{\xi} \ \hat{a}_{\alpha}(t - \xi) \ \xi^{\alpha} \ \hat{f}(\xi)

d'où :

(\mathfrak{D} \,f)(x) \ = \ \sum_{|\alpha| = 0}^m \ \int_{\mathbb{R}^n} \mathrm d \tilde{t} \ e^{+ \, i \, < \, t \, , \, x \, >} \ \left( \, \hat{a}_{\alpha} \ * \ \xi^{\alpha} \ \hat{f} \, \right)(t)

qu'on peut réécrire :

(\widehat{\mathfrak{D} \, f})(\xi) \ = \ \sum_{|\alpha| = 0}^m \ \left( \, \hat{a}_{\alpha} \ * \ \xi^{\alpha} \ \hat{f} \, \right)(\xi )

Voir aussi

Bibliographie

  • Lars Hörmander ; The analysis of linear partial differential operators, Springer-Verlag (1983 à 1985). Traité de référence en quatre volumes, par le récipiendaire de la médaille Fields 1962. Le volume I est sous-titré : Distribution theory and Fourier analysis, et le volume II : Differential operators with constant coefficients. Les volumes III et IV sont consacrés à la théorie moderne via les opérateurs pseudo-différentiels.
  • Lars Hörmander ; Linear Partial Differential Operators, Springer-Verlag (1963). Le livre qui contient les travaux pour lesquels l'auteur a obtenu la médaille Fields en 1962.
  • Yu.V. Egorov & M.A. Shubin ; Foundations of the Classical Theory of Partial Differential Equations, Springer-Verlag (2e édition - 1998), ISBN 3-540-63825-3. Premier volume d'une série qui en comporte neuf, écrits pour l' Encylopaedia of Mathematical Sciences. Les volumes suivants sont consacrés à la théorie moderne via les opérateurs pseudo-différentiels.
  • Michael E. Taylor ; Partial Differential Equations - Basic Theory, Series: Texts in Applied Mathematics, Vol. 23, Springer-Verlag (2e édition - 1999), ISBN 0-387-94654-3. Premier volume d'une série qui en comporte trois. Les volumes suivants sont consacrés à la théorie moderne via les opérateurs pseudo-différentiels.

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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Opérateur différentiel de Wikipédia en français (auteurs)

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