Nombre d'argent

L'appellation nombre d'argent a été proposée pour diverses généralisations du nombre d'or ; elles sont encore en concurrence actuellement.

Première proposition

Le nombre d'or étant la solution positive de l'équation x² = x + 1, équation caractéristique de la récurrence de Fibonacci : u_n = u_{n − 1} + u_{n − 2}, il a été proposé^[1] que le nombre d'argent soit la solution positive de l'équation x³ = x² + x + 1, équation caractéristique de la récurrence  : u_n = u_{n − 1} + u_{n − 2} + u_{n − 3}.

Mais cette récurrence ayant été désignée, par un jeu de mot, récurrence de Tribonacci, la constante associée s'appelle désormais constante de Tribonacci, qui est égale à environ .

Dans la même veine, on trouve aussi le premier nombre de Pisot-Vijayaraghavan, unique solution positive de l'équation x³ = x + 1, équation caractéristique de la récurrence de Padovan : u_n = u_{n − 2} + u_{n − 3}, mais elle a été rétrogradée au rang de nombre plastique, ou constante de Padovan.

Deuxième proposition

Un rectangle d'or étant un rectangle qui est semblable au rectangle obtenu en ôtant le plus grand carré inclus, propriété qui équivaut à ce que le rapport longueur/largeur soit égal au nombre d'or, il a été proposé qu'un rectangle d'argent soit un rectangle semblable au rectangle obtenu en ôtant deux plus grands carrés inclus.

Le rapport Longueur/largeur d'un rectangle d'argent est la solution positive de l'équation x − 2 = 1 / x soit x² = 2x + 1 ; il est naturel alors de désigner par nombre d'argent cette solution, égale à .

Si le nombre d'or a pour développement en fraction continue [1,1,1,….], ce nombre a pour développement [2,2,2,….].

Pour éviter un conflit avec la troisième proposition, ce nombre est étudié dans Wikipédia sous le nom de proportion d'argent, traduction littérale de silver ratio.

La récurrence associée est u_n = 2u_{n − 1} + u_{n − 2}.

Troisième proposition

L'inverse du nombre d'or étant égal à , il a été proposé que le nombre d'argent noté u soit égal à .

Il est la racine positive de l'équation x³ = 3x − 1, associée à la récurrence u_n = 3u_{n − 2} − u_{n − 3}.

À l'aide du nombre d'or et du nombre d'argent, il est assez facile d'exprimer la table trigonométrique des angles de 1° à 45°, de degré en degré.

En effet, ceux-ci sont des multiples de 3 (catégorie I) et/ou 5 (catégorie II), des multiples de 2 (catégorie III), et des premiers (catégorie IV). Les premiers (catégorie IV) sont les complémentaires à 45° de la catégorie III. La catégorie III se calcule aisément à partir des catégories I et II, qui elles-mêmes découlent de u et de ϕ.

La question reste posée de savoir si on peut faire mieux avec d'autres nombres, soit de la classe x² = q - p x, soit de la classe x³ = q - p x.

La courbe de Lissajous et (cubique) est très liée à ce problème, de même que la quintique et .

Sans être aussi riche que les recherches faites autour des suites de Fibonacci, le nombre d'argent est l'objet d'études de curieux des mathématiques.

Références

Voir aussi

• Proportion d'argent
• Nombre d'or
• Courbe de Lissajous
• Nombre plastique

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