Courbe De Lissajous

Courbe De Lissajous

Courbe de Lissajous

Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Lissajous (homonymie).
Courbe de Lissajous

La courbe de Lissajous, aussi dénommée figure de Lissajous ou courbe de Bowditch, est la trajectoire d'un point dont les composantes rectangulaires ont un mouvement sinusoïdal.

Cette famille de courbes fut étudiée par Nathaniel Bowditch en 1815, puis plus en détail par Jules Lissajous en 1857.

Sommaire

Définition mathématique

Courbe de Lissajous obtenue sur un oscilloscope

Une courbe de Lissajous peut être définie par l'équation paramétrique suivante :

x( \theta )=a\sin(\theta)\,
y( \theta )=b\sin(n \theta + \phi)\,		 où 0\le \phi \le \frac {\pi}{2} et n\ge 1\,

n\, est appelé le paramètre de la courbe, et correspond au rapport des pulsations des deux mouvements sinusoïdaux. D'ailleurs, si ce rapport est rationnel, il peut être exprimé sous la forme n=\frac{p}{q}\, et l'équation paramétrique de la courbe devient :

x( \theta )=a\sin(p\theta)\,
y( \theta )=b\sin(q \theta + \phi)\,
0\le \theta \le 2\pi		 où 0\le \phi \le \frac {\pi}{2p}

Propriétés

  • Si n est irrationnel, la courbe est dense dans le rectangle [-a,a]x[-b,b].
  • Si n est rationnel,
    • la courbe est une courbe algébrique de degré 2q si \phi \in \left]0,\frac{\pi}{2p} \right] pour p impair ou \phi \in \left[0,\frac{\pi}{2p} \right[ pour p pair.
    • la courbe est une portion de courbe algébrique de degré q si \phi=0\, pour p impair ou \phi=\frac{\pi}{2p} pour p pair.
  • Si n est un entier pair et \phi = \frac{\pi}{2} , ou si n est un entier impair et \phi =0\,, la courbe est une portion de la courbe du n-ième polynôme de Tchebychev Tn.

Cas particuliers

  • si a=b et n=1, la courbe est une ellipse.
    • si \phi=\frac{\pi}{2}, cette ellipse est un cercle
    • si \phi=0\,, cette ellipse est un segment de droite
  • si a=b et n=q=2 (donc p=1), la courbe est une besace

Voici quelques exemples de tracés avec φ = 0, p impair, q pair, |p − q| = 1.

p = 1, q = 2 (1:2)

p = 3, q = 2 (3:2)

p = 3, q = 4 (3:4)

p = 5, q = 4 (5:4)

p = 5, q = 6 (5:6)

p = 9, q = 8 (9:8)

Applications

Sur un oscilloscope analogique, le mode XY permet notamment de mesurer un déphasage et une différence de fréquence entre deux signaux sinusoïdaux par la visualisation de courbes de Lissajous. Cette méthode est néanmoins peu précise.

Voir aussi

Liens externes


  • Portail de la géométrie Portail de la géométrie
  • Portail de l’électricité et de l’électronique Portail de l’électricité et de l’électronique
Ce document provient de « Courbe de Lissajous ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Courbe De Lissajous de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Courbe de lissajous — Pour les articles homonymes, voir Lissajous (homonymie). Courbe de Lissajous La courbe de Lissajous, aussi dénommée figure de Lissajous ou courbe de Bowditch, est la trajectoire d un point dont les composantes rectangulaires ont un mouvement… …   Wikipédia en Français

  • Courbe de Lissajous — Pour les articles homonymes, voir Lissajous (homonymie). Courbe de Lissajous La courbe de Lissajous, aussi dénommée figure de Lissajous ou courbe de Bowditch, est la trajectoire d un point dont les composantes rectangulaires ont un mouvement… …   Wikipédia en Français

  • Lissajous — (homonymie) Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. Lissajous peut faire référence à : Jules Antoine Lissajous (1822 1880), un mathématicien français Courbe de Lissajous, une figure… …   Wikipédia en Français

  • Lissajous (homonymie) — Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. Lissajous peut faire référence à : Jules Antoine Lissajous (1822 1880), un mathématicien français Courbe de Lissajous, une figure mathématique Une… …   Wikipédia en Français

  • Orbite de Lissajous — autour du point de Lagrange 2. En mécanique spatiale, une orbite de Lissajous désigne une trajectoire orbitale quasi périodique qu un objet céleste parcourt sans propulsion autour d un point de Lagrange d un système à trois corps. Les orbites de… …   Wikipédia en Français

  • Jules Lissajous — Jules Antoine Lissajous Pour les articles homonymes, voir Lissajous (homonymie). Jules Antoine Lissajous. Jules Antoine Lissajous est né en 1822 …   Wikipédia en Français

  • Jules Antoine Lissajous — Pour les articles homonymes, voir Lissajous (homonymie). Jules Antoine Lissajous. Jules Antoine Lissajous, né le 4 mars 1822 à Versailles et mort le 24  …   Wikipédia en Français

  • Lisajous — Lissajous (homonymie) Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. Lissajous peut faire référence à : Jules Antoine Lissajous (1822 1880), un mathématicien français Courbe de Lissajous, une… …   Wikipédia en Français

  • Lissajou — Lissajous (homonymie) Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. Lissajous peut faire référence à : Jules Antoine Lissajous (1822 1880), un mathématicien français Courbe de Lissajous, une… …   Wikipédia en Français

  • Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques — Cette page n est plus mise à jour depuis l arrêt de DumZiBoT. Pour demander sa remise en service, faire une requête sur WP:RBOT Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”