Nombre Premier Long

Nombre Premier Long

Nombre premier long

En mathématique, un nombre premier long est un nombre premier p tel que dans une base donnée b, la formule suivante donne un nombre cyclique :

\frac{b^{p-1}-1}{p}

b est la base (10 pour décimal), et p est un premier qui ne divise pas b.

Les quelques premières valeurs de p pour lesquelles cette formule donne un nombre cyclique en base décimale sont suite A001913 de l’OEIS

7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, 167, 179, 181, 193, 223, 229, 233, 257, 263, 269, 313, 337, 367, 379, 383, 389, 419, 433, 461, 487, 491, 499, 503, 509, 541, 571, 577, 593, 619, 647, 659, 701, 709, 727, 743, 811, 821, 823, 857, 863, 887, 937, 941, 953, 971, 977, 983 …

Par exemple, le cas b = 10, p = 7 donne le nombre cyclique 142857, ainsi 7 est un nombre premier long.

Toutes les valeurs de p ne vont pas donner un nombre cyclique en utilisant cette formule; par exemple p = 13 donne 076923076923. Dans ces cas, il y a toujours une (ou plusieurs) répétition de séquences identiques.

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