Méthodes Mathématiques En Physique

Les méthodes mathématiques en physique sont assez nombreuses ; car le grand livre de la Nature se lit en termes mathématiques.

Globalement, les physiciens trouvent empiriquement des méthodes qui marchent ; on dit qu'elles opèrent bien : l'exemple classique est celui du calcul opératoriel d'Heaviside, puis de Dirac. Il faudra attendre 1950 pour que Laurent Schwartz donne leur statut définitif aux distributions.

Un autre cas célèbre est celui des "diagrammes de Feynman" de 1948 : ce sont des règles qu'on applique, qui permettent de soustraire des "contre-termes" infinis aux "infinis du vide". Cinquante ans de calcul ont permis de trouver 15 chiffres significatifs à la constante du moment magnétique de l'électron. Et la théorie de la renormalisation vient seulement d'être faite par Pierre Cartier et Alain Connes vers 2000.

Plus rarement, les mathématiques sont là qui "attendent" leur réalisation physique : l'exemple est celui des quasi-cristaux dont la théorie venait d'être faite un an auparavant par des mathématiciens (1984).

Souvent les deux théories marchent de pair, et s'enrichissent mutuellement : un physicien peut alors recevoir la médaille Fields ! Cela a été le cas des connexions en mathématiques et des théories de jauge en physique (exemple de Witten).

Enfin le cas le plus fréquent est que l'outil créé sert ensuite très largement aux applications ultérieures :

Le calcul infinitésimal s'adapte comme un gant à la mécanique newtonienne ; mais il dépasse le cadre de celle-ci, pour envahir tout le champ de description par méthodes variationnelles, via les équations d'Euler-Lagrange.

La théorie des groupes initialement créée pour classer, s'est vite trouvée entre les mains de Lie, puis d'Élie Cartan et d'Emmy Noether, comme une théorie indispensable pour comprendre la notion de système intégrable, etc.

En France, Schwartz et son élève Jacques-Louis Lions sont les figures de proue ; mais on ne saurait oublier leurs prédécesseurs : Courant & Hilbert en Allemagne, Morse & Feschback aux USA.

Les neuf tomes du Dautray-Lions sont les briques de base de tout ingénieur. Évidemment, l'ouvrage datant de 1987, il ne peut relater l'extraordinaire croissance des systèmes dynamiques (création d'une chaire au Collège de France pour Jean-Christophe Yoccoz), des méthodes numériques lissées par solutions de viscosité (chaire de Pierre-Louis Lions, et des algèbres d'opérateurs liés à la théorie de Galois-Grothendieck différentielle (chaire d'Alain Connes), ainsi que l'immense développement de la théorie des probabilités en théorie des finances, des vols de Levy, des équations différentielles stochastiques, des chaînes de Markov cryptées du code génétique (LeGall, Gromov), et aussi l'immense développement à venir de l'information quantique (cryptologie, téléportation et calcul quantique) (chaire de Serge Haroche).

Il n'est guère de domaine de la physique qui ne soit hautement fertilisé ou intriqué avec des méthodes mathématiques "de la physique".

Reconnaissons néanmoins que les problèmes linéaires sont assez largement compris, voire maîtrisés.

Par contre, on "patauge" encore dans le domaine non linéaire : souvent on procède encore par développement en série perturbative, fondée essentiellement sur le théorème de Campbell-Hausdorff.

Le chaos faible est assez bien compris. Mais la turbulence reste un système dynamique où seuls les calculs numériques donneront peut-être un jour une avancée.

Il reste aussi que les sept problèmes du millénium ([1]) sont fortement liés à la physique.

Classer tous ces sujets est une tâche énorme : le mieux provisoire est de reprendre les thèmes des préfaces des 3 énormes traité précités (à faire). Et d'y ajouter les thèmes nouveaux n'y figurant pas.

En fait, contrairement à ce que pouvait affirmer Dieu donné dans son appréciation de la physique, il n'existe plus beaucoup de domaines mathématiques qui n'aient pas d'applications. La déraisonnable efficacité des mathématiques est simplement qu'elles ont toujours eu au départ une thèse ayant un contact avec le réel (la géométrie par exemple) : le développement des géométries riemanniennes ensuite voit des retombées immédiates en théorie de la gravitation, et la géométrie non commutative de Connes, qui est, à la base, construite pour satisfaire la non commutativité d'Heisenberg, trouve évidemment son application à la physique quantique.

Classification

Le mieux est de reprendre la classification internationale des mathématiques et d'y accoler les retombées en physique.

Il est clair bien sûr que la résolution des équations différentielles et des équations aux dérivées partielles, soit des systèmes intégrables, soit des méthodes numériques sont au premier plan des problèmes des physiciens.

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