Méthode de Ferrari

La méthode de Ferrari imaginée et mise au point par Ludovico Ferrari permet de résoudre les équations du quatrième degré, c'est-à-dire d'écrire les solutions comme une combinaison d'additions, soustractions, multiplications, divisions, et racines carrées, cubiques et quartiques constituée à partir des coefficients de l'équation.

Principe de la méthode

Soit l'équation générale du quatrième degré suivante : $\qquad a x^4 + b x^3 + c x^2 + d x + e = 0,$

Le changement de variable affine $\qquad x = z - \frac{b}{4a}$ montre que l'équation est équivalente à une équation de la forme $\qquad z^4 + p z^2 + q z+ r = 0$ , avec

$\qquad p= \frac{-3b^2}{8a^2} + \frac{c}{a}$

$\qquad q= \frac{(b/2)^3}{a^3} - \frac{(1/2)bc}{a^2} + \frac{d}{a}$

$\qquad r= -3\left(\frac{b/4}{a}\right)^4 + c\left(\frac{(b/4)^2}{a^3}\right) - \frac{(1/4)bd}{a^2} + \frac{e}{a}$

Le point central de la méthode consiste à remplacer le monôme z⁴ par le polynôme (z²+y)²-2yz²-y², paramétré par y, et de trouver une valeur de y convenable, qui permette, via une identité remarquable de factoriser l'expression :

$\begin{array}{rl}z^4 + p z^2 + q z+ r & =(z^2+y)^2 + p z^2 + q z + r - 2yz^2 - y^2\\ &=(z^2+y)^2 -(2y - p)z^2 + qz - y^2 + r.\\\end{array}$

Plus précisément, il s'agit de déterminer y de façon à ce que le terme $(2 y - p) z 2 - q z + y 2 - r$ , vu comme polynôme en z, s'écrive sous forme d'un carré, ce qui est équivalent à l'annulation de son discriminant $q 2 - 4(2 y - p)(y 2 - r)$

En effet, si le discriminant est nul et que (2y-p) ne l'est pas, il s'agit d'une propriété du polynôme du second degré, si le discriminant est nul et si 2y-p l'est aussi, le coefficient devant z est nécessairement nul et le polynôme est constant, carré d'une constante éventuellement complexe.

Cette annulation équivaut à : $\qquad 8y^3 - 4py^2 - 8ry + 4rp - q^2 = 0$

Cette équation se résout par radicaux en utilisant, par exemple, la méthode de Cardan, qui donne au moins une valeur réelle y₀ convenable. En reportant la valeur y₀ obtenue dans l'équation précédente, on obtient :

$\qquad (z^2 + y_0)^2 - (a_0z + b_0)^2 = 0$ avec a₀ (réel ou complexe) tel que

$a_0^2 = -p+2y_0$

et b tel que

$b_0 = - \frac{q}{2a_0}$ si $2 y 0 - p$ est non nul; ou; $b_0 ^2=y_0^2-r$ si $2 y 0 - p$ est nul
et, par une identité remarquable, cette égalité est équivalente à

$\qquad (z^2 + y_0 - a_0z - b_0)(z^2 + y_0 + a_0z + b_0) = 0$

ce qui équivaut à l'annulation d'un des deux facteurs du second degré en z :

$\qquad z^2 + y_0 - a_0z - b_0 = 0$

$\qquad z^2 + y_0 + a_0z + b_0 = 0$

Chacune de ces deux équations fournit deux valeurs pour z, soit quatre valeurs en tout pour z, et les valeurs de x solutions de l'équation initiale s'en déduisent.

Exemple

Nous nous proposons de résoudre l'équation :

$x^4 + 4x^3 + 3x^2 - 8x - 10 = 0 ~$

Posons :

$x = z - 1 \qquad (*)~$

En remplaçant dans l'équation, on obtient :

$z^4 - 3z^2 - 6z - 2 = 0 \qquad (**)~$

y étant un nombre complexe quelconque, développons maintenant l'expression :

$(z^2 + y)^2 = z^4 + 2yz^2 + y^2~$

Qui, compte tenu de (**), peut s'écrire :

$(z^2 + y)^2 = 3z^2 + 6z + 2 + 2yz^2 + y^2~$

Mettons le second membre sous forme de polynôme en z :

$(z^2 + y)^2 = (3 + 2y)z^2 + 6z + y^2 + 2 \qquad(***) ~$

Si l'on veut que le second membre se mette aussi sous forme de carré, il faut trouver une valeur de y telle que le polynôme en z ait une racine double. Soit une valeur de y telle que le discriminant du polynôme en z soit nul, c’est-à-dire telle que :

$6^2 -4(3 + 2y)(y^2 + 2) = 0 ~$

Qui se simplifie sous la forme :

$2y^3 + 3y^2 + 4y -3 = 0 ~$

Nous remarquons que cette équation du troisième degré en y admet la racine évidente :

$y = 0.5 ~$

(Ce qui nous évite dans cet exemple d'utiliser une méthode plus élaborée comme la méthode de Cardan pour la résoudre).

On fixe y à cette valeur que l'on reporte dans (***), nous obtenons :

$(z^2 + 0.5)^2 = 4z^2 + 6z + 2.25 ~$

Et comme prévu, le second membre se met bien sous forme de carré :

$(z^2 + 0.5)^2 = [ 2z + 1.5 ]^2 ~$

Qui s'écrit :

$(z^2 + 0.5)^2 - [ 2z + 1.5 ]^2 = 0 ~$

Nous avons une différence de carré que l'on peut donc écrire :

$[z^2 + 2z + 2][z^2 - 2z - 1] = 0 ~$

Nous sommes donc ramené à résoudre les deux équations :

$z^2 + 2z + 2 = 0 ~$

$z^2 - 2z - 1 = 0 ~$

Les discriminants de ces deux équations sont :

Pour la première équation :

$\triangle_1 = 4 - 4\times 2 = -4 ~$

Pour la deuxième équation :

$\triangle_2 = 4 - 4\times (-1) = 8 ~$

Nous en déduisons les quatre valeurs possibles de z.

Pour la première équation :

$z_1 = \frac{-2 - 2i}{2} = - 1 - i ~$

$z_2 = \frac{-2 + 2i}{2} = - 1 + i ~$

Pour la deuxième équation :

$z_3 = \frac{2 - 2\sqrt{2}}{2} = 1 - \sqrt{2} ~$

$z_4 = \frac{2 + 2\sqrt{2}}{2} = 1 + \sqrt{2} ~$

En reportant ces quatre valeurs de z dans (*), on obtient :

$x_1 = -2 - i ~$

$x_2 = -2 + i ~$

$x_3 = - \sqrt{2} ~$

$x_4 = \sqrt{2} ~$

Qui sont bien les quatre racines de l'équation à résoudre.

Autres méthodes de résolution d'équations

v · Méthode de Bézout · Méthode de Cardan · Méthode de Sotta · Méthode de Ferrari · Méthode de Descartes · Méthode de Tschirnhaus · Méthode d'Hermite · Méthode de Héron · Méthode de Laguerre · Méthode du cercle de séparation
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