- Méthode des moments (analyse numérique)
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Pour les articles homonymes, voir Méthode des moments.En analyse numérique, la méthode des moments est une méthode de résolution numérique de problèmes linéaires avec conditions aux limites. La méthode consiste à ramener le problème à un problème matriciel de la forme Ax = B, où A est une matrice, x un vecteur inconnu dont on recherche les solutions et B un vecteur connu. Lorsque c'est possible, l'inversion de la matrice A permet de déterminer les solutions recherchées.
Sommaire
Description de la méthode
La méthode des moments permet de résoudre les équations inhomogènes du type :
- L(f) = g
où L est un opérateur linéaire, f et g deux fonctions. Généralement, on nomme la fonction g le terme excitation ou source, et f le terme de champ ou la réponse, l'inconnu que l'on cherche à déterminer.
La fonction f peut être décomposée sur une base de fonctions fn:
f = ∑ αnfn n où les coefficients αn sont constant. L'opérateur L étant linéaire, on a :
∑ αnL(fn) = g n On définit également un produit scalaire dans l'espace des fonctions (généralement un espace de Hilbert) ainsi que des fonctions tests wm dans le domaine de l'opérateur L. En prenant le produit scalaire de l'équation précédente avec chaque wm, on obtient :
∑ αn < wm,L(fn) > = < wn,g > n Cette série d'équation peut se réécrire sous forme matricielle :
- [lmn][αn] = [gn]
où
![[\alpha_n]=\left(\begin{matrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \end{matrix} \right)](6/c16d18dbf2b05a48b73f2063f90eb699.png)
, ![[g_n]=\left(\begin{matrix} <w_1, g> \\ <w_2, g> \\ \vdots \end{matrix} \right)](d/e6d910350d06a864aa83f808455e7028.png)
Si la matrice [lmn] est inversible, alors les coefficients [αn] peuvent être calculés par :
- [αn] = [lmn] − 1[gn]
Cas particulier : méthode de Galerkin
Lorsque les fonctions tests wn sont choisies telles que wn = fn, cette méthode est connue sous le nom de méthode de Galerkin, du nom du mathématicien Russe Boris Grigoryevich Galerkin.
Voir aussi
- Méthode des éléments finis de frontière
- Méthode des différences finies
- Méthode des volumes finis
- Méthode des éléments finis
Références
- R.Harrington, Origin and Development of the Method of Moments for Fields Computation, IEEE Antennas and Propagation Magazine, juin 1990.
- R.Harrington, Matrix Methods for Field Problems, Proc. of the IEEE, vol. 55, No. 2, février 1967.
![[l_{mn}]=\left( \begin{matrix} <w_1, L f_1> & <w_1, L f_2> & \cdots \\ <w_2, L f_1> & <w_2, L f_2 & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots \end{matrix}\right)](7/bb79fdb650b3778c801df3b51fe3e65b.png)
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