Méthode d'exhaustion

En mathématiques, la méthode d'exhaustion est un procédé ancien de calcul d'aires, de volumes et de longueurs de figures géométriques complexes. La quadrature est la recherche de l'aire d'une surface, la rectification est celle de la longueur d'une courbe.

Dans le cas du calcul de l'aire d'une figure plane, par exemple, le principe est de calculer les aires de polygones inscrits et circonscrits à la figure. L'encadrement fournit une approximation d'autant meilleure que le nombre de côtés utilisé est grand. Lus par les modernes, les calculs d'exhaustion permettent d'arriver à la valeur exacte de l'aire A de la figure par passage à la limite. Il s'agit pourtant d'une étape qui ne fut pas franchie par les Anciens qui utilisaient un double raisonnement par l'absurde : on suppose que l'aire est plus grande que A et on obtient une contradiction, puis on suppose que l'aire est plus petite que A et on obtient une autre contradiction, d'où l'on conclut que l'aire vaut A.

On attribue à Eudoxe de Cnide la paternité de ce procédé, mais c'est Archimède qui en fit une méthode d'encadrement précise et systématique, en faisant grand usage de l'axiome qui porte son nom. Celle-ci connut de nombreux succès pendant plusieurs siècles, avant d'être rendue obsolète par l'apparition de la méthode des indivisibles au début du XVII^e siècle, elle-même surpassée quelques décennies plus tard par le calcul infinitésimal.

Exhaustion et quadrature

La méthode d'exhaustion fut utilisée dans les problèmes suivants :

Quadrature du cercle

La proposition 2 du livre XII des Eléments d'Euclide prouve que l'aire d'un disque est proportionnelle au carré du diamètre. Elle repose sur une propriété analogue portant sur les polygones inscrits dans un cercle et précédemment prouvée par Euclide. Le principe de la méthode d'exhaustion est le suivant. Soit un disque de diamètre D et d'aire A, et un deuxième disque de diamètre D' et d'aire A'. Il s'agit de montrer que A/A' = D²/D'². Supposons que ce ne soit pas le cas et que A/A' soit plus grand. Soit B une aire telle que B/A' = D²/D'². On a donc A > B. Inscrivons dans le disque d'aire A un polygone d'aire C tel que A > C > B et dans le disque d'aire A' un polygone d'aire C' semblable au polygone d'aire C. D'après la proposition montrée sur les polygones, on a C/C' = D²/D'² = B/A'. Or C' < A'. Donc C < B, ce qui est absurde. On ne peut donc avoir A/A' supérieur à D²/D'². On procède de même si A/A' est inférieur à D²/D'². On a donc A/A' = D²/D'².

Archimède prouva ensuite par cette même méthode qu'un cercle délimite une aire égale à celle d'un triangle rectangle dont un des côtés est égal au rayon de ce cercle, et dont l'autre côté de l'angle droit est égal à la circonférence de ce même cercle.

Quadrature de la parabole

La quadrature de la parabole consiste à déterminer l'aire de la surface comprise entre une corde et une portion de parabole. Elle fut entreprise par Eudoxe, qui proposa une méthode d'obtention d'une suite de bornes inférieures. Archimède compléta le calcul en proposant une suite de bornes supérieures.

Archimède démontre qu'à chaque étape de son calcul, l'amplitude de l'encadrement obtenu est réduit de plus de la moitié et qu'en continuant le processus les valeurs seront aussi proches qu'on le souhaite de l'aire cherchée.

Exhaustion et volume

Volume de la pyramide et du cône

La proposition 6 du livre XII des Eléments d'Euclide prouve que les pyramides qui ont même hauteur et des bases de même aire ont même volume. Euclide en déduit ensuite que le volume de la pyramide est le tiers de la base par la hauteur. La preuve de cette dernière propriété, énoncée par Démocrite, est due à Eudoxe de Cnide^[1].

Les démonstrations ultérieures de cette formule font toutes appel à des méthodes relevant de près ou de loin à un calcul intégral et aucune démonstration géométrique plus simple ne put être trouvée. Cette difficulté conduisit Hilbert en 1900 à faire figurer cette question en troisième place dans sa liste de problèmes.

Dans la proposition 10 du livre XII, le résultat précédent est étendu aux cônes, tiers du cylindre de même base et de même hauteur.

Volume de la sphère

En approchant une sphère par des polyèdres inscrits, il est montré, dans la proposition 18 du livre XII des Eléments d'Euclide, que le volume d'une sphère est proportionnel au cube du diamètre. C'est Archimède qui déterminera ensuite la formule du volume de la sphère.

Notes et références

Bibliographie

• A. Dahan-Dalmedico et J. Peiffer, Une Histoire des mathématiques - Routes et dédales [détail des éditions] 
• Bernard Vitrac, « Les géomètres de la Grèce antique -- 7. Archimède », dans CultureMath, 2004 [texte intégral] 
• (en) Hans Niels Jahnke (Editor), A history of analysis, AMS Bookstore, 2003 , « 1 Antiquity (Rüdiger Thiele) » 

Articles liés

• Livre V des Éléments d'Euclide
• Palimpseste d'Archimède

• Portail de la géométrie