Axiome d'Archimede

L'axiome d'Archimède est une formulation antique d'axiomes dits de continuité. Il est présent dans les éléments d'Euclide. Cet axiome entre donc d'abord dans le cadre de la géométrie synthétique ; cependant il dépasse largement celui-ci. Dans le sens moderne, on donne le nom d'archimédien à des structures dont les éléments vérifient une propriété analogue à l'axiome d'Archimède.

Formulations antiques

L'axiome d'Archimède est une propriété utilisée dès l'Antiquité. Il s'applique aux grandeurs ayant une raison entre elles, ce qui, selon le livre V des Eléments d'Euclide, signifie :

Des grandeurs sont dites avoir une raison entre elles lorsque ces grandeurs, étant multipliées, peuvent se surpasser mutuellement.

Archimède attribue en fait cet axiome à Eudoxe de Cnide, dont on pense qu'il est l'auteur des livres V et XII des Eléments d'Euclide. L'axiome s'applique aux longueurs, aux aires, aux volumes, aux angles rectilignes. Cette propriété est utilisée dans le livre V des Eléments pour définir la notion de proportion entre grandeurs. Elle permet de prouver la proposition 1 du livre X des Eléments, qui est fréquemment utilisée dans la méthode d'exhaustion :

Deux grandeurs inégales étant proposées, si l'on retranche de la plus grande une partie plus grande que sa moitié, si l'on retranche du reste une partie plus grande que sa moitié, et si l'on fait toujours la même chose, il restera une certaine grandeur qui sera plus petite que la plus petite des grandeurs proposées.

L'axiome de continuité

Le premier axiome de continuité (axiome IV.1) de l'axiomatique de Hilbert de la géométrie euclidienne constitue une (sinon la) formulation moderne de l'axiome archimède. On peut se demander si la continuité conforme à l'axiome d'Archimède n'est pas de nature différente de celle définie en géométrie projective :

Sur une forme de première espèce déterminons un ordre ; sur un segment de cette forme, supposons que l'on puisse répartir tous les éléments, sauf peut-être un, en deux classes telles que :

1. tout élément appartient à une classe et à une seule ;
2. selon l'ordre choisi, tout élément de la première classe précède tout élément de la seconde classe.

Il existe alors un unique élément du segment (appelé l'élément limite) qui suit un élément quelconque de la première classe et précède un élément quelconque de la seconde.

Cette dernière formulation ne repose pas sur la congruence, mais postule l'appartenance et l'ordre.

En géométrie arguésienne, l' "axiome" d'Archimède est en fait une conséquence de l'axiome de continuité (de la géométrie projective)^[1]; pour prendre un sens, il exige la congruence, alors que cela n'est pas le cas pour l'axiome de continuité. Ainsi, l'axiome de continuité (le plus général) est celui de la géométrie projective, et l'axiome d'Archimède n'est donc qu'une proposition.

Notes

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