Méthode de la sécante

En analyse numérique, la méthode de la sécante est un algorithme de recherche d'un zéro d'une fonction f.

Sommaire

1 La méthode
- 1.1 Démonstration
2 Convergence
3 Voir aussi

La méthode

Cette méthode est utilisable si f continue et si l'on a deux valeurs a et b telles que f(a)*f(b)<0.

La méthode de la sécante est une méthode dérivée de celle de Newton où l'on remplace $f'(x_n)\,$ par $\frac{f(x_n)-f(x_{n-1})}{x_n-x_{n-1}}.$ On obtient la relation de récurrence :

$x_{n+1} = x_n - \frac{x_n-x_{n-1}}{f(x_n)-f(x_{n-1})} f(x_n).$

L'initialisation nécessite deux points x₀ et x₁, proches, si possible, de la solution recherchée.

Démonstration

La courbe rouge représente la fonction f et le segment en bleu, la sécante.

Étant donnés a et b, on construit la droite passant par (a, f(a)) et (b, f(b)). Son équation est :

$y - f(b) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a} (x-b).$

On choisit c égal à l'abscisse du point d'ordonnée nulle de cette droite.

$f(b) + \frac{f(b)-f(a)}{b-a} (c-b) = 0.$

Si on extrait c de cette équation, on retrouve la relation de récurrence citée plus haut :

$c = b - \frac{b-a}{f(b)-f(a)} f(b),$

avec

c = x n + 1,

b = x n,

a = x n - 1 .

Convergence

Si les valeurs initiales x₀ et x₁ sont suffisamment proches de la solution, la méthode aura un ordre de convergence de

$\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \simeq 1,618$ qui est le nombre d'or.

Toutefois, la fonction f doit être deux fois continûment différentiable et la solution doit être une racine simple de f.

Voir aussi

v · Méthode de Bézout · Méthode de Cardan · Méthode de Sotta · Méthode de Ferrari · Méthode de Descartes · Méthode de Tschirnhaus · Méthode d'Hermite · Méthode de Héron · Méthode de Laguerre · Méthode du cercle de séparation
Recherche d'un zéro	Méthode de dichotomie · Méthode de Newton · Méthode de la sécante · Méthode de Müller · Méthode de Brent · Méthode de la fausse position · Méthode de Halley · Méthode de Householder. Méthode de Quasi-Newton

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Catégorie :

Algorithme de recherche d'un zéro d'une fonction

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