Mesure bornée
- Mesure bornée
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Mesure finie
Sur un espace mesurable 
, une mesure finie ou mesure bornée est une mesure (réelle ou complexe) μ dont la masse | μ | (X) (valeur de la variation totale | μ | sur X) est finie.
Fonctions intégrables
Toute fonction complexe f mesurable et bornée est intégrable contre toute mesure finie μ ; et on dispose de la majoration :
Exemples de mesures finies
- La mesure de comptage sur un ensemble X est finie ssi X est un ensemble fini.
- Les masses de Dirac sont des mesures finies, quel que soit l'espace mesurable considéré.
- Plus généralement, les mesures de probabilité sont des exemples de mesures finies : ce sont des mesures positives de masse 1.
- Pour une mesure complexe ν pas nécessairement finie, et pour une fonction mesurable ν-intégrable, la variation totale de la mesure f.ν est exactement | f | . | ν | ; de fait, la mesure f.ν est finie.
Espace des mesures finies
Toute somme de mesures finies est une mesure finie. Toute mesure proportionnelle à une mesure finie est une mesure finie. Les mesures bornées forment un espace vectoriel complexe 
. De plus, on définit la norme :
Pour cette norme, c'est un espace de Banach.
Pour toute mesure ν, l'application 
induit une isométrie de 
sur un sous-espace vectoriel fermé de . Ce sous-espace est exactement l'ensemble des mesures finies absolument continues par rapport à ν.
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Catégorie : Théorie de la mesure
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