Mesure finie

Mesure finie

Sur un espace mesurable (X,\mathcal A), une mesure finie ou mesure bornée est une mesure (réelle ou complexe) (en) μ dont la masse | μ | (X) (valeur sur X de la variation |μ| de μ) est finie.

Sommaire

Fonctions intégrables

Toute fonction complexe f mesurable et bornée est intégrable contre toute mesure finie μ ; et on dispose de la majoration :

\left|\int_Xf.d\mu\right|\leq \|f\|_{\infty}.|\mu|(X)

Exemples de mesures finies

  • La mesure de comptage sur un ensemble X est finie ssi X est un ensemble fini.
  • Les masses de Dirac sont des mesures finies, quel que soit l'espace mesurable considéré.
  • Plus généralement, les mesures de probabilité sont des exemples de mesures finies : ce sont des mesures positives de masse 1.
  • Pour une mesure complexe ν pas nécessairement finie, et pour une fonction mesurable ν-intégrable, la variation totale de la mesure f.ν est exactement | f | . | ν |  ; de fait, la mesure f.ν est finie.

Espace des mesures finies

Toute somme de mesures finies est une mesure finie. Toute mesure proportionnelle à une mesure finie est une mesure finie. Les mesures bornées forment l'espace des mesures bornées (en) \mathcal M(X,\mathcal A) sur \mathcal A. C'est un espace de Banach complexe pour la norme :

\|\mu\|=|\mu|(X).

Pour toute mesure ν, l'application f\mapsto f.\nu induit une isométrie de L^1(X,\mathcal A) sur un sous-espace vectoriel fermé de \mathcal M(X,\mathcal A). Ce sous-espace est exactement l'ensemble des mesures finies absolument continues par rapport à ν.

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