Matrice densité

Matrice densité

La matrice densité, ou opérateur densité est une entité mathématique introduite par le mathématicien et physicien John von Neumann. Elle permet de résumer en une seule matrice tout l'ensemble possible des états quantiques d'un système physique donné à un instant donné, mariant ainsi mécanique quantique et physique statistique.

Sommaire

Définition

Cas pur

La description du système se fait ici grâce à un vecteur d'état | \psi(t) \rangle que l'on peut développer sur la base des \{ | u_n \rangle \}  :

\left| \psi(t) \right\rangle = \sum_n {c_n(t) \cdot \left| u_n \right\rangle}

avec \sum_n | c_n(t) |^2 = 1\,

L'opérateur densité est défini pour un état pur par :

\hat \rho = |\psi(t) \rangle \langle \psi(t) | = \sum_{n,p} c_n^*(t) c_p(t) | u_p \rangle \langle u_n |

Mélange statistique d'états purs

En admettant qu'un certain système physique puisse être, à un certain instant t, dans un mélange statistique (fini ou infini) d'états quantiques | \psi_i \rangle avec des probabilités pi (où \sum_i p_i = 1\,) , alors la matrice densité représentant l'ensemble de ces états est :

\hat \rho = \sum_i p_i |\psi_i \rangle \langle \psi_i |

L'aspect statistique introduit ici est de deux natures, l'une classique et l'autre quantique :

1. classique : dû à l'estimation du ket par une distribution statistique des différents kets possibles,
2. quantique : incertitude quantique fondamentale même si le système est parfaitement déterminé.

Les éléments de la matrice densité valent :

\hat \rho_{pn} = \sum_i p_i \langle u_p^{(i)} | \hat \rho_i | u_n^{(i)} \rangle = \sum_i p_i c_n^{(i)*} c_p^{(i)}
Démonstration
\hat \rho_{pn} = \sum_i p_i \langle u_p^{(i)} |\hat \rho | u_n^{(i)} \rangle = \langle u_p^{(i)} | (\sum_i p_i |\psi_i \rangle \langle \psi_i| )| u_n^{(i)} \rangle
\hat \rho_{pn} = \sum_i p_i \langle u_p^{(i)} | (\sum_{p'} c_{p'}^{(i)} |u_{p'}^{(i)} \rangle) (\sum_{n'} c_{n'}^{(i)*}\langle u_{n'}^{(i)}| )| u_n^{(i)} \rangle

où \langle u_{n'}^{(i)} | u_n^{(i)} \rangle = \begin{cases} 1 & n'=n\\ 0 & sinon \end{cases}

d'où \hat \rho = \sum_i p_i |\psi_i \rangle \langle \psi_i |
 

Propriétés

La matrice obtenue a les propriétés suivantes :

  • Elle est hermitienne, \hat \rho =\hat \rho^{\dagger}, elle peut donc être diagonalisée, et ses valeurs propres sont positives.
  • Sa trace est égale à 1, Tr(\hat A) =1, conservation de la probabilité totale.
  • Elle doit être définie positive ou nulle.
  • Dans le cas d'un état pur, l'opérateur densité est alors un projecteur : \hat \rho^2 = \hat \rho .
  • Tr(\rho^2) \le 1, avec égalité si et seulement si le système physique est dans un état pur (c'est-à-dire que tous les pi sont nuls sauf un).

Valeur moyenne

On peut calculer la valeur moyenne d'une observable A à partir de la formule :

\langle \hat A \rangle = \langle \Psi |\hat A | \Psi \rangle = Tr(\hat A \hat \rho) = Tr(\hat \rho \hat A)

avec \hat \rho = \sum_i^N p_i \hat \rho_i est la matrice densité d'un mélange statistique d'états.

Démonstration

On considère un mélange statistique d'états :

| \Psi_i \rangle = \sum_{n,i} c_n^{(i)} |u_n^{(i)} \rangle
\langle \hat A \rangle = \sum_i p_i \langle \Psi_i | \hat A | \Psi_i \rangle = \sum_i p_i \sum_{n,p} c_n^{(i)*} c_p^{(i)} \langle u_n^{(i)} |\hat A| u_p^{(i)} \rangle
\langle \hat A \rangle = \sum_i p_i \sum_{n,p} \langle u_p^{(i)} | \hat \rho_i | u_n^{(i)}\rangle \langle u_n^{(i)} | \hat A| u_p^{(i)} \rangle
\langle \hat A \rangle = \sum_i p_i Tr(\hat \rho_i \hat A)
d'où : \langle \hat A \rangle = Tr(\hat A \hat \rho) = Tr(\hat \rho \hat A)
 

Evolution avec le temps

Article détaillé : Opérateur d'évolution.

L'évolution temporelle du vecteur d'état est donné par l'équation de Schrödinger dépendante du temps :

\hat H \left| \Psi (t)\right\rangle = i \hbar {d\over dt} \left| \Psi (t) \right\rangle

Lien avec l'entropie

Enfin, on peut définir l'entropie de Von Neumann :

S=-k_B Tr(\hat \rho\ln(\hat \rho))

où kB est la constante de Boltzmann.

L'entropie d'un état pur est nulle, car il n'y a aucune incertitude sur l'état du système. On peut aussi trouver une base où la matrice est diagonale, avec des 0, et un 1 sur la diagonale, ce qui donne bien une entropie égale à 0.

Voir aussi

Bibliographie

  • C. Cohen-Tannoudji, B. Diu et F. Laloë, Mécanique quantique [détail des éditions]
  • Bernard Diu, Claudine Guthmann, Danielle Lederer et Bernard Roulet, Éléments de physique statistique, 1996 [détail de l’édition] 
v · d · m
Mécanique quantique
Concepts fondamentaux Décohérence · Dualité · Effet tunnel · État quantique · Fonction d'onde · Intrication · Observable · Correspondance · Superposition · Principe d'incertitude · Mesure · Spin
Expériences Fentes de Young · Expérience de Davisson et Germer · Expérience de Stern et Gerlach · Chat de Schrödinger · Gomme quantique · Paradoxe EPR · Téléportation quantique · Expérience d'Aspect
Formalisme Notation bra-ket · Équation de Schrödinger · Matrice densité · Représentation de Schrödinger · de Heisenberg · d'interaction · Diagramme de Feynman
Statistiques Maxwell-Boltzmann · Échange · Fermi-Dirac · Fermion · Bose-Einstein · Boson
Théories avancées Théorie quantique des champs · Axiomes de Wightman · Électrodynamique quantique · Chromodynamique quantique · Gravité quantique · Trou noir virtuel
Interprétations Problème de la mesure · Copenhague · Ensemble · Variables cachées

Ontologique (Bohm-Hiley)

Transactionnelle · Mondes multiples · Histoires consistantes · Logique quantique · Réduction par l'observation (consciente)
Physiciens Bohr · Bohm · Born · de Broglie · Dirac · Einstein · Everett · Feynman · Heisenberg · von Neumann · Pauli · Penrose · Planck · Schrödinger
Postulats de la mécanique quantique · Histoire de la mécanique quantique

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Matrice densité de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Matrice Densité — Cet article fait partie de la série Mécanique quantique Postulats de la mécanique quantique Histoire de la m …   Wikipédia en Français

  • Matrice densite — Matrice densité Cet article fait partie de la série Mécanique quantique Postulats de la mécanique quantique Histoire de la m …   Wikipédia en Français

  • Matrice Inversible — En mathématiques et plus particulièrement en algèbre linéaire, une matrice carrée A d ordre n est dite inversible ou régulière ou encore non singulière, s il existe une matrice B d ordre n telle que AB = BA = In, ( AB = In suffit d aprés le… …   Wikipédia en Français

  • Matrice inverse — Matrice inversible En mathématiques et plus particulièrement en algèbre linéaire, une matrice carrée A d ordre n est dite inversible ou régulière ou encore non singulière, s il existe une matrice B d ordre n telle que AB = BA = In, ( AB = In… …   Wikipédia en Français

  • Matrice non singulière — Matrice inversible En mathématiques et plus particulièrement en algèbre linéaire, une matrice carrée A d ordre n est dite inversible ou régulière ou encore non singulière, s il existe une matrice B d ordre n telle que AB = BA = In, ( AB = In… …   Wikipédia en Français

  • Matrice régulière — Matrice inversible En mathématiques et plus particulièrement en algèbre linéaire, une matrice carrée A d ordre n est dite inversible ou régulière ou encore non singulière, s il existe une matrice B d ordre n telle que AB = BA = In, ( AB = In… …   Wikipédia en Français

  • Matrice Creuse — Une matrice creuse obtenue lors de la résolution d un problème éléments finis. Les éléments non nuls sont représentés en noir. Dans la discipline de l analyse numérique des mathématiques, une matrice creuse est une matrice contenant beaucoup de… …   Wikipédia en Français

  • Matrice clairsemée — Matrice creuse Une matrice creuse obtenue lors de la résolution d un problème éléments finis. Les éléments non nuls sont représentés en noir. Dans la discipline de l analyse numérique des mathématiques, une matrice creuse est une matrice… …   Wikipédia en Français

  • Matrice De Dirac — Les matrices de Dirac sont des matrices qui furent introduites par Paul Dirac, lors de la recherche d une équation d onde relativiste de l électron. Sommaire 1 Intérêt 2 Matrices de Dirac 3 Le slash de Feynman …   Wikipédia en Français

  • Matrice de dirac — Les matrices de Dirac sont des matrices qui furent introduites par Paul Dirac, lors de la recherche d une équation d onde relativiste de l électron. Sommaire 1 Intérêt 2 Matrices de Dirac 3 Le slash de Feynman …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”