Magma (algèbre)

Magma (algèbre)
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En mathématiques, un magma (ou monade ou groupoïde de Ore[1]) est une structure algébrique constituée d'un ensemble muni d'une loi de composition interne.

Ainsi si l'on note E, un ensemble, et \star, une loi de composition interne, le couple noté (E,\star) est un magma.

Aucun axiome n'est imposé sur cette loi de composition interne, souvent notée comme une multiplication. Le manque de richesse de cette structure algébrique fait qu'elle est rarement étudiée en tant que telle ; des magmas particuliers tel que les groupes, les monoïdes etc. sont bien plus souvent utiles.

Exemples de magmas

  • (\mathbb{N},+) est un magma associatif, commutatif et unifère. De plus, tout élément y est régulier. Il s'agit donc d'un monoïde commutatif et régulier, donc d'un semi-groupe commutatif.
  • (\mathbb{N}, \times) est également un monoïde commutatif, mais 0 n'étant pas régulier, ce n'est pas un semigroupe.
  • (\mathbb{Z},-) est un magma non-associatif et non-commutatif. Il n'est même pas unifère car, s'il admet un élément neutre à droite (0), il n'en admet pas à gauche. Par contre, ce magma est permutatif et régulier.
  • Murskiǐ a montré en 1965 que le magma à trois éléments {0,1,2} muni de la loi interne \star ci-dessous ne possède pas d'axiomatisation équationnelle (ou base équationnelle) finie[2].
\star 0 1 2
0 0 0 0
1 0 0 1
2 0 2 2

Note

  1. ↑ Dov Tamari, Problèmes d'associativité des monoïdes ..., Séminaire Dubreil tome 16 n° 1 (1962-63) p. 7-08, mais attention ne pas confondre avec la notion courante de groupoïde
  2. ↑ V. L. Murskiǐ , The existence in three-valued logic of a closed class with finite basis, not having a finite complete system of identities, Soviet Math. Dokl. 6 (1965), 1020-1021

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