Loi du Khi-2

Loi du Khi-2: Loi du χ²

Loi du χ²
Densité de probabilité / Fonction de masse

Fonction de répartition

Paramètres $k > 0\,$ degrés de liberté

Support $x \in [0; +\infty)\,$

Densité de probabilité (fonction de masse) $\frac{(1/2)^{k/2}}{\Gamma(k/2)} x^{k/2 - 1} e^{-x/2}\,$

Fonction de répartition $\frac{\gamma(k/2,x/2)}{\Gamma(k/2)}\,$

Espérance $k\,$

Médiane (centre) approximativement $k-2/3\,$

Mode $k-2\,$ si $k\geq 2\,$

Variance $2\,k\,$

Asymétrie (statistique) $\sqrt{8/k}\,$

Kurtosis (non-normalisé) $3 + {12\over k} \,$

Entropie $\frac{k}{2}\!+\!\ln(2\Gamma(k/2))\!+\!(1\!-\!k/2)\psi(k/2)$

Fonction génératrice des moments $(1-2\,t)^{-k/2}$ pour $2\,t<1\,$

Fonction caractéristique $(1-2\,i\,t)^{-k/2}\,$

La loi du χ² (prononcé « khi-deux » ou « khi carré ») est une loi à densité de probabilité. Cette loi est caractérisée par un paramètre dit degrés de liberté à valeur dans l'ensemble des entiers naturels (non nuls).

Soit $X_1, \ldots , X_k$ $k$ variables aléatoires indépendantes de même loi normale centrée et réduite, alors par définition la variable $X \$ , telle que

$X: \ =\sum_{i=1}^k X_i^2$

suit une loi du χ² à k degrés de liberté.

Soit $X~$ une variable aléatoire suivant une loi du χ² à $k~$ degrés de liberté, on notera $\chi^2(k)~$ la loi de $X~$ .

Alors la densité de $X~$ notée $f_X~$ sera :

$f_X(t)=\frac{1}{2^\frac{k}{2}\Gamma(\frac{k}{2})} t^{\frac{k}{2} - 1} e^{-\frac{t}{2}}\,$ pour tout t positif

où Γ est la fonction gamma.

L'espérance mathématique de $X$ vaut $k$ et sa variance vaut $2 k$ .

Sommaire

1 Approximation

2 Utilisation

3 Lien avec les méthodes bayésiennes

4 Voir aussi

4.1 Articles connexes

4.2 Notes et références

Approximation

Lorsque k est « grand » (k > 30), la loi du χ² peut s'approximer par une loi normale d'espérance k et de variance 2k.

Utilisation

La principale utilisation de cette loi consiste à apprécier l'adéquation d'une loi de probabilité à une distribution empirique en utilisant le test du χ² basé sur la loi multinomiale. Plus généralement elle s'applique dans le test d'hypothèses à certains seuils (indépendance notamment).

Lien avec les méthodes bayésiennes

Dans son ouvrage Décisions rationnelles dans l'incertain (1974), qui constitue une somme des techniques bayésiennes dont la grande émergence se fait à cette époque, le professeur Myron Tribus montre que le χ² constitue un exemple de passage à la limite du psi-test (test de plausibilité) bayésien lorsque le nombre de valeurs en présence devient grand - ce qui est la condition de travail des statistiques classiques, mais pas nécessairement des bayésiennes. Le raccord entre les deux disciplines, qui sont asymptotiquement convergentes, est ainsi complet.

L'ouvrage de référence de Jaynes en donne également une démonstration en page 287^[1].

Voir aussi

Articles connexes

Méthode des moindres carrés

Test du χ²

Loi de Rice

Notes et références

↑ Introduction du livre

Portail des probabilités et des statistiques

Ce document provient de « Loi du %CF%87%C2%B2 ».

Catégories : Loi de probabilité | Méthode d'analyse

**Loi du χ²**
Densité de probabilité / Fonction de masse
Fonction de répartition
Paramètres	$k > 0\,$ degrés de liberté
Support	$x \in [0; +\infty)\,$
Densité de probabilité (fonction de masse)	$\frac{(1/2)^{k/2}}{\Gamma(k/2)} x^{k/2 - 1} e^{-x/2}\,$
Fonction de répartition	$\frac{\gamma(k/2,x/2)}{\Gamma(k/2)}\,$
Espérance	$k\,$
Médiane (centre)	approximativement $k-2/3\,$
Mode	$k-2\,$ si $k\geq 2\,$
Variance	$2\,k\,$
Asymétrie (statistique)	$\sqrt{8/k}\,$
Kurtosis (non-normalisé)	$3 + {12\over k} \,$
Entropie	$\frac{k}{2}\!+\!\ln(2\Gamma(k/2))\!+\!(1\!-\!k/2)\psi(k/2)$
Fonction génératrice des moments	$(1-2\,t)^{-k/2}$ pour $2\,t<1\,$
Fonction caractéristique	$(1-2\,i\,t)^{-k/2}\,$

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Loi du Khi-2 de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем написать реферат

Regardez d'autres dictionnaires:

Loi de Khi-2 — Loi du χ² Loi du χ² Densité de probabilité / Fonction de masse Fonction de répartition … Wikipédia en Français
Loi du khi-deux — Loi du χ² Loi du χ² Densité de probabilité / Fonction de masse Fonction de répartition … Wikipédia en Français
Loi du khi carré — Loi du χ² Loi du χ² Densité de probabilité / Fonction de masse Fonction de répartition … Wikipédia en Français
Loi du khi deux — Loi du χ² Loi du χ² Densité de probabilité / Fonction de masse Fonction de répartition … Wikipédia en Français
Loi De Student — Densité de probabilité / Fonction de masse Fonction de répartition … Wikipédia en Français
Loi de student — Densité de probabilité / Fonction de masse Fonction de répartition … Wikipédia en Français
Loi Du Χ² — Densité de probabilité / Fonction de masse Fonction de répartition … Wikipédia en Français
Loi de chi-2 — Loi du χ² Loi du χ² Densité de probabilité / Fonction de masse Fonction de répartition … Wikipédia en Français
Loi de χ² — Loi du χ² Loi du χ² Densité de probabilité / Fonction de masse Fonction de répartition … Wikipédia en Français
Loi du chi2 — Loi du χ² Loi du χ² Densité de probabilité / Fonction de masse Fonction de répartition … Wikipédia en Français

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Loi du Khi-2

Loi du χ²

Sommaire

Approximation

Utilisation

Lien avec les méthodes bayésiennes

Voir aussi

Articles connexes

Notes et références

Regardez d'autres dictionnaires:

Share the article and excerpts

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Wikipédia en Français

Loi du Khi-2

Loi du χ²

Sommaire

Approximation

Utilisation

Lien avec les méthodes bayésiennes

Voir aussi

Articles connexes

Notes et références

Regardez d'autres dictionnaires:

Share the article and excerpts

Direct link