Logarithme integral

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Logarithme intégral

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En mathématiques, le logarithme intégral li est une fonction spéciale définie en tout nombre réel strictement positif x≠1 par l'intégrale :

{\rm li} (x) = \int_{0}^{x} \frac{dt}{\ln (t)} \;.

Ici, ln désigne le logarithme naturel. La fonction t\mapsto 1/\ln (t) n'est pas définie en t = 1, et l'intégrale pour x> 1 doit être interprétée comme la valeur principale de Cauchy :

{\rm li} (x) = \lim_{\varepsilon \to 0} \left( \int_{0}^{1-\varepsilon} \frac{dt}{\ln (t)} + \int_{1+\varepsilon}^{x} \frac{dt}{\ln (t)} \right) \;.

Le comportement de croissance de cette fonction pour x → ∞ est

{\rm li} (x) = O \left( {x\over \ln (x)} \right) \;.

(Voir Notation O).

La fonction li est liée à l'exponentielle intégrale Ei par la relation li(x) = Ei (ln (x)) pour tout nombre réel strictement positif x ≠ 1. Ceci mène aux développements en séries de li (x), comme par exemple:

{\rm pour} \; u \ne 0 \;,\quad {\rm li} (e^{u}) = \gamma + \ln \left| (u) \right| + \sum_{n=1}^{\infty} {u^{n}\over n \cdot n!},

où γ ≈ 0.57721 56649 01532... est la constante d'Euler-Mascheroni.

La fonction li a une seule racine, elle se trouve en x ≈ 1.45136 92348...; ce nombre est connu comme étant la constante de Ramanujan-Soldner.

Fonction d'écart logarithmique intégrale

La fonction d'écart logarithmique intégrale est une fonction spéciale Li(x) très similaire à la fonction logarithme intégral, définie de la façon suivante :

\mathrm{Li}(x) = \mathrm{li}(x) - \mathrm{li}(2)=\int_{2}^{x} \frac{dt}{\ln (t)}.

Il peut être montré que, pour tout entier n, on a le développement asymptotique suivant à l'infini :

{\rm Li} (x) = \frac{x}{\ln x} \sum_{k=0}^{n} \frac{k!}{(\ln x)^k} + o(\frac{x}{(\ln x)^{n+1}})

Elle est souvent utilisée dans les formulations du théorème des nombres premiers. L'écart logarithmique intégral donne une légèrement meilleure estimation de la fonction de compte des nombres premiers que la fonction li.

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