Sinus intégral

Sinus intégral
Page d'aide sur l'homonymie Ne pas confondre avec la fonction sinus cardinal.
Tracé de Si(x) pour 0 \leqslant x \leqslant 8 \pi.

La fonction sinus intégral, notée Si, est une fonction spéciale de la physique mathématique introduite par Fresnel dans l'étude des vibrations lumineuses, est définie par l'intégrale :

\forall x \in \mathbb{R},\ \mathrm{Si}(x) = \int_{0} ^{x} \frac{\sin(t)}{t} \mathrm{d}t

où la fonction sin est la fonction sinus.

Sommaire

Historique

Cette fonction a été utilisée par Oscar Xavier Schlömilch (pour représenter certaines intégrales définies) avec la notation moderne Si(x) dès 1846. Une première tabulation de cette function (pour x=1,\ldots,10), due à Bretschneider, a été republiée par Schlömilch dans son "Analytische Studien" en 1848. Jean Denis Fenolio a publié en 1857 un mémoire suggérant plusieurs formules pour le calcul numérique de la fonction Si(x). Davide Besso a publié en 1868 une table de valeurs de Si(x) pour x multiple entier de π. Une tabulation plus précise que celles de Bretschneider et Besso a été publiée en 1870 par J. W. L. Glaisher, qui donne aussi un historique de l'utilisation de cette fonction dans la littérature mathématique. Des tables détaillées des fonctions cosinus intégral, exponentielle intégrale et sinus intégral ont été publiées en 1940 par la Federal Works Agency, sous la direction d'Arnold D. Lowan. L'introduction du volume 1 de ces tables contient (p. 26) une bibliographie des applications de ces fonctions en physique et en ingéniérie.

Propriétés

  • La fonction est continue, infiniment dérivable sur \mathbb{R}, et
\forall x \in \mathbb{R},\ \mathrm{Si}'(x) = \frac{\sin(x)}{x} = \mathrm{sinc}(x)

où sinc est la fonction sinus cardinal.

  • La fonction Si est développable en série entière sur \mathbb{R}, et on a
\forall x \in \mathbb{R},\ \mathrm{Si}(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!(2n+1)}

Ce développement permet d'étendre la fonction Si en une fonction analytique définie sur tout le plan complexe.

Voir aussi

Bibliographie

Liens


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