Exponentielle Intégrale

Exponentielle intégrale

En mathématiques, l'exponentielle intégrale Ei(x) est définie par :

$\mbox{Ei}(x)=-\int_{-x}^{\infty} \frac{e^{-t}}{t}\,\mathrm dt\, = \int_{-\infty}^{x} \frac{e^{t}}{t}\,\mathrm dt\,.$

Comme $\tfrac1t$ diverge pour t=0, cette intégrale doit être comprise en termes de valeur principale de Cauchy.

L'exponentielle intégrale a pour développement en série :

$\mbox{Ei}(x) = \gamma+\ln x+ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{k\; k!}$ ,

où $γ$ est la constante d'Euler-Mascheroni.

Elle est reliée à une autre fonction définie par :

${\rm E}_1(x) = \int_x^\infty \frac{e^{-t}}{t}\,\mathrm dt\, = -\int_{-\infty}^{-x} \frac{e^{t}}{t}\,\mathrm dt\,$

Cette fonction étend l'exponentielle intégrale au réels négatifs compte tenu de l'identité :

${\rm Ei}(-x) = - {\rm E}_1(x).\,$

Les deux fonctions s'expriment en fonction de la fonction entière définie par :

${\rm Ein}(x) = \int_0^x (1-e^{-t})\frac{\mathrm dt}{t} = \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}x^k}{k\; k!}$ .

En effet, on peut écrire :

${\rm E}_1(x) \,=\, -\gamma-\ln x + {\rm Ein}(x)$

${\rm Ei}(x) \,=\, \gamma+\ln x - {\rm Ein}(-x)$ .

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