- Valeur principale de Cauchy
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En mathématiques, la valeur principale de Cauchy, appelée ainsi en l'honneur de Augustin Louis Cauchy, associe une valeur à certaines intégrales impropres qui resteraient autrement indéfinies.
Sommaire
Définition
Soit c une singularité d'une fonction d'une variable réelle f et supposons que pour a < c < b, la limite suivante
existe et est finie. Alors, on dit que l'intégrale impropre de f(x) sur l'intervalle existe et sa valeur est définie par L.
Si la limite ci-dessus n'existe pas, il est toutefois possible qu'elle existe lorsque
et η tendent vers zéro en restant égaux, c'est-à-dire si la limite
existe et est finie. Dans ce cas là, on appelle la limite L la valeur principale de Cauchy de l'intégrale impropre ce que l'on écrit :
La définition s'étend comme suit[réf. souhaitée] au cas avec n singularités a < x1,...,xn < b :
si pour ε > 0 les intégrales
existent et sont finies et que la limite
existe, on pose :
.
Exemples
Fonction puissance
Soit la fonction f définie par f(x) = x − 3 illustrée à la figure 1 ci-contre, on a :
Cette limite n'existe pas lorsque
et η tendent vers zéro indépendamment. Par contre, en posant
, la limite existe et vaut zéro. On a par conséquent :
Ce qui correspond à l'intuition puisque la fonction est impaire et que l'on intègre sur un intervalle symétrique.
Logarithme intégral
La fonction logarithme intégral joue un grand rôle en théorie analytique des nombres. Elle est définie par
Il faut voir cette définition comme la valeur principale de Cauchy :
Voir aussi
Références
- E.T. COPSON, An Introduction to the Theory of Functions of a Complex Variable, Oxford University Press, 1955, ISBN 0-198-53145-1
- Murray R. SPIEGEL, Variables Complexes, Schaum, ISBN 2-7042-0020-3
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