Lemme de Grönwall

Lemme de Grönwall

En mathématiques, le lemme de Grönwall, nommé d'après Thomas Hakon Grönwall (en) qui l'établit en 1919, permet l'estimation d'une fonction qui vérifie une certaine inégalité différentielle. Le lemme existe sous deux formes, intégrale et différentielle.

Le lemme de Grönwall constitue la justification et l'outil d'obtention de nombreuses approximations des solutions d'équations différentielles ordinaires. En particulier, il est utilisé pour démontrer l'unicité d'une solution au problème de Cauchy, au travers du théorème de Cauchy-Lipschitz.

Sommaire

Forme intégrale

Si, pour t_0\leq t\leq t_1, \phi(t)\geq 0 et \psi(t)\geq 0 sont des fonctions continues qui vérifient :

\phi(t)\leq K+L\int_{t_0}^t \psi(s)\phi(s) \, \mathrm{d} s ,

où K et L sont des constantes positives, alors :

\phi(t)\leq K\exp\left(L\int_{t_0}^t \psi(s)\, \mathrm{d} s\right)

pour t_0\leq t\leq t_1.

Le principe de démonstration est le suivant : il s'agit de voir qu'en t0, on a égalité entre les deux majorants, puis, en dérivant le rapport

\frac{K+L\int_{t_0}^t\psi(s)\phi(s)\mathrm{d}s}{K\mathrm{exp}\left(L\int_{t_0}^t \psi(s)\mathrm{d}s\right)},

voir que ce rapport est décroissant, ce qui prouve le résultat.

Forme différentielle

Si l'équation différentielle suivante est vérifiée :

\frac{\mathrm{d} \phi}{\mathrm{d} t} (t) \leq L \psi(t) \phi (t),

alors on a l'inégalité :

\phi(t)\leq \phi(t_0)+L\int_{t_0}^t \psi(s)\phi(s) \, \mathrm{d} s ,

ce qui permet de conclure que

\phi(t)\leq \phi(t_0) \exp\left(L\int_{t_0}^t \psi(s)\, \mathrm{d} s\right)

pour t_0 \leq t \leq t_1.

Forme discrète

La version discrète du lemme de Grönwall se présente dans la littérature en une multitude de déclinaisons. Elle est couramment utilisée pour étudier la stabilité numérique des schémas d'intégration.

Considérons les trois suites de nombres réels positifs suivantes :

Δtn le pas de temps à chaque itération,
en l'erreur totale (accumulée) à l'itération n,
εn l'erreur supplémentaire apportée par l'itération n.

Considérons de plus le nombre réel positif λ qui représente un facteur d'amplification de l'erreur.

Finalement ajoutons pour simplifier l'écriture :

tn le temps à l'itération n,

de sorte que t_n=t_0+\sum_{i=0}^{n-1}\Delta t_i .

Si de plus les erreurs successives sont liées par la relation suivante :

\forall n \geq 0

e_{n+1}\leq(1+\lambda \Delta t_n)e_n+\varepsilon _n,

alors on a :

e_n \leq e^{(t_n - t_0)\lambda}e_0+\sum_{i=0}^{n-1}e^{\lambda(t_n-t_{i+1})}\varepsilon _i.

La démonstration se fait par récurrence en notant que 1+\mu\leq e^{\mu} pour tout \mu\geq0.

Lien externe

(en) J. A. Oguntuase, On an inequality of Gronwall, Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics, vol. 2, n° 1, 2001


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