- Lemme de Gronwall
-
Lemme de Grönwall
En mathématiques, le lemme de Grönwall, nommé d'après Thomas Hakon Grönwall (1877-1932) qui l'établit en 1919, permet l'estimation d'une fonction qui vérifie une certaine inégalité différentielle. Le lemme existe sous deux formes, intégrale et différentielle.
Le lemme de Grönwall constitue la justification et l'outil d'obtention de nombreuses approximations des solutions d'équations différentielles ordinaires. En particulier, il est utilisé pour démontrer l'unicité d'une solution au problème de Cauchy, au travers du théorème de Cauchy-Lipschitz.
Sommaire
Forme intégrale
Si, pour , et sont des fonctions continues qui vérifient :
- ,
où K et L sont des constantes positives, alors :
pour
Le principe de démonstration est le suivant: il s'agit de voir qu'en t0, on a égalité entre les deux majorants, puis, en dérivant le rapport , voir que ce rapport est décroissant, ce qui prouve le résultat.
Forme différentielle
Si la relation suivante est vérifiée :
Alors on a l'inégalité :
Ce qui permet de conclure quepour
Forme discrète
La version discrète du lemme de Grönwall se présente dans la littérature en une multitude de déclinaisons. Elle est couramment utilisée pour étudier la stabilité numérique des schémas d'intégration.
Considérons les trois suites de nombres réels positifs suivantes :
- Δtn le pas de temps à chaque itération,
- en l'erreur totale (accumulée) à l'itération n,
- l'erreur supplémentaire contribuée par l'itération n.
Considérons de plus le nombre réel positif λ qui représente un facteur d'amplification de l'erreur.
Finalement ajoutons pour simplifier l'écriture :
- tn le temps à l'itération n,
de sorte que .
Si de plus les erreurs successives sont liées par la relation suivante :
- ,
alors on a:
La démonstration se fait par récurrence en notant que pour tout .
Voir aussi
Liens externes
http://jipam.vu.edu.au/article.php?sid=125
- Portail des mathématiques
Catégories : Équation différentielle | Lemme de mathématiques
Wikimedia Foundation. 2010.