Lemme d'estimation

En mathématiques, le lemme d'estimation (aussi appelé lemme d'estimation standard^[1]) donne un majorant (du module) d'une intégrale curviligne. Si f est une fonction à valeurs complexes, continue sur le chemin rectifiable $γ$ , on a :

$\left|\int_\gamma f(z) \mathrm{d}z \right| \le \mathrm{L}(\gamma)\max_{z\in \mathrm{Im}\, \gamma} |f(z)|$

où $L(γ)$ est la longueur du chemin rectifiable. À noter que la borne supérieure existe et est atteinte (c'est donc un maximum) car l'image d'un chemin rectifiable est compacte et f est continue.

Figure 1: Illustration de l'approximation de l'intégrale curviligne le long d'un contour

γ

(en rouge) par une somme des valeurs atteintes en n points

c k

appartenant à n-1 petits arcs formant le contour.
La somme des longueurs des cordes (en bleu) donne une approximation de la longueur du contour.

On peut justifier intuitivement le lemme comme suit : en subdivisant le chemin $γ$ en n-1 petits arcs d'extrémités successives $z_1,\dots, z_n$ , on approche l'intégrale curviligne par une somme de Riemann :

$I = \int_{\gamma}f(z)\mathrm{d}z\approx\sum_{k=1}^{n-1} f(c_k) (z_{k+1}-z_{k})$

où $c k$ est un point arbitraire de l'arc joignant $z k$ à $z k + 1$ . Le module de chaque terme de la somme est majoré par $M\cdot |z_{k+1} - z_{k}|$ , où M est le maximum de $| f |$ sur $γ$ et $| z k + 1 - z k |$ est la longueur de la corde joignant $z k$ à $z k + 1$ . Comme la somme des longueurs de ces cordes approche la longueur du chemin $γ$ , on peut s'attendre^{[Note 1]} à la majoration $|I| \leq M \rm{L}(\gamma)$ .

Ce lemme est très utilisé en analyse complexe pour montrer que l'intégrale le long d'une partie d'un contour tend vers zéro en passant à certaine limite. L'exemple traité infra permet d'illustrer ce principe.

Démonstration

Soit $\gamma : [a, b] \to \mathbb C, t\mapsto \gamma(t)$ , un chemin de classe $\mathcal C^1$ par morceaux, on a :

$|I| = \left|\int_\gamma f(z) \mathrm{d}z\right| = \left|\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t) \mathrm{d}t\right|$

ce que l'on peut majorer comme suit :

$|I| \le \int_a^b\left|f(\gamma(t))\right|\left|\gamma'(t)\right|\mathrm{d}t$

En majorant le module de f sur le chemin et par définition de la longueur d'un arc, on a :

$|I| \leq \max_{t\in[a,b]}|f(\gamma(t))| \int_a^b \left|\gamma'(t)\right|\mathrm{d}t\text{ et }\mathrm{L}(\gamma) = \int_a^b \left|\gamma'(t)\right|\mathrm{d}t$

d'où finalement :

$|I| \leq \mathrm{L}(\gamma)\max_{z\in \mathrm{Im}\,\gamma}|f(z)|$

Exemple

Figure 2 : Illustration du chemin

γ

utilisé dans l'exemple.

Problème : trouver un majorant pour :

$\left|\int_\gamma {1\over(z^2+1)^2}\mathrm{d}z\right|$

où $γ$ est le demi-cercle dans le plan supérieur de rayon $a > 1$ parcouru dans le sens direct et illustré à la figure 1 ci-contre.

Solution : La longueur du chemin est la moitié du périmètre d'un cercle de rayon a, on a donc :

L(γ) = π a

On cherche ensuite un majorant M pour l'intégrande sur le chemin. Par inégalité triangulaire, on a :

$|z|^2 = |z^2+1-1| \le |z^2+1|+1$

par conséquent, sur le chemin $γ$ ,

$|z^2+1|\ge |z|^2-1 = a^2-1 > 0$

nous avons donc, $\forall z \in \gamma$ :

$\left|{1\over (z^2+1)^2}\right| \le {1\over(a^2-1)^2}=M$

En appliquant le lemme, on a :

$\left|\int_\gamma {1\over(z^2+1)^2}\mathrm{d}z\right| \le {\pi a\over (a^2-1)^2}$

Remarque, on voit qu'à la limite $a \to \infty$ , l'intégrale le long du demi-cercle tend vers zéro. Cela nous permet d'appliquer aisément le théorème des résidus pour calculer l'intégrale suivante :

$\int_{-\infty}^{+\infty} {dx\over (x^2+1)^2} = {\pi\over 2}$

où l'on a considéré le lacet obtenu en complétant $γ$ par le segment $[ - a, a]$ . En effet, la fonction a un pôle double dans le demi-plan supérieur : $z 1 = + i$ et le résidu en ce point est :

$\mathrm{Res}(f, +i) = \lim_{z\to i} \left({(z-i)^2\over (z^2+1)^2}\right)' = \frac{1}{4i}$

où la dérivée vient du fait que i est un pôle d'ordre deux. En appliquant le théorème des résidus et en considérant le résultat précédent (l'intégrale s'annule le long du demi-cercle dans le plan supérieur à la limite), on a :

$\int_{-\infty}^{+\infty} {dx\over (x^2+1)^2} = 2\pi i \cdot \frac{1}{4i} = {\pi\over 2}$

Notes

↑ en utilisant l'inégalité triangulaire, à savoir que $\left|\sum_{k=1}^n a_k\right| \le \sum_{k=1}^n |a_k|$ pour des $a k$ réels ou complexes.

Références

(en) Serge Lang, Complex Analysis, Springer, 1999, 4^e éd. (ISBN 0-387-98592-1)

↑ Michèle Audin, Analyse Complexe, notes de cours de l'université de Strasbourg

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