Lemme de Kronecker

Lemme de Kronecker

Le lemme de Kronecker est un résultat d'analyse concernant les séries de nombres réels.

Sa forme la plus connue est la forme suivante, utilisée en particulier en probabilités dans une preuve classique de la loi des grands nombres :

Si la série de terme général \frac{x_n}{n} converge alors \frac1{n}\sum_{k=1}^n x_k tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini.

Ce résultat admet une généralisation qui en rend la preuve assez naturelle:

Pour une série convergente de terme général un, et pour toute suite croissante de réels positifs (bn) divergeant vers l'infini, on a :

\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{b_n} \sum_{k=1}^n b_ku_k=0

Preuve

On pose

S_n=\sum_{k=1}^n u_k et s=\sum_{k=1}^{\infty} u_k.

Soit ε > 0 quelconque, et fixons N tel que \forall k \ge N, |S_k - s| < \varepsilon.

Si n \ge N, une sommation d'Abel donne alors :

\begin{align}\frac1{b_n}\sum_{k=1}^n b_k u_k&=S_n - \frac1{b_n}\sum_{k=1}^{n-1}(b_{k+1} - b_k)S_k \\&=S_n - \frac1{b_n}\sum_{k=1}^{N-1}(b_{k+1} - b_k)S_k - \frac1{b_n}\sum_{k=N}^{n-1}(b_{k+1} - b_k)S_k \\&= S_n - \frac1{b_n}\sum_{k=1}^{N-1}(b_{k+1} - b_k)S_k - \frac1{b_n}\sum_{k=N}^{n-1}(b_{k+1} - b_k)s - \frac1{b_n}\sum_{k=N}^{n-1}(b_{k+1} - b_k)(S_k - s) \\&= S_n - \frac1{b_n}\sum_{k=1}^{N-1}(b_{k+1} - b_k)S_k - \frac{b_n-b_N}{b_n}s + \frac1{b_n}\sum_{k=N}^{n-1}(b_{k+1} - b_k)(s - S_k) \\&= (S_n - s) + \frac1{b_n}\left(b_Ns-\sum_{k=1}^{N-1}(b_{k+1} - b_k)S_k\right) + \frac1{b_n}\sum_{k=N}^{n-1}(b_{k+1} - b_k)(s - S_k) ~.\end{align}

Quand n tend vers l'infini, le premier terme converge vers zéro car la suite (Sn) converge vers s. Le deuxième terme tend vers 0 car (bn) tend vers l'infini et N est fixé. Enfin, puisque (bn) est croissante, le dernier terme est majoré en valeur absolue par \frac{b_n-b_N}{b_n}\varepsilon, donc par ε . Par conséquent, la limite supérieure de la suite (|\frac1{b_n}\sum_{k=1}^n b_k u_k |) est majorée par 2ε par exemple, et ce pour tout ε > 0. En faisant tendre ε vers zéro, on obtient le résultat énoncé.


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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Lemme de Kronecker de Wikipédia en français (auteurs)

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