K3 (géométrie)

K3 (géométrie)
Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir K3.

En géométrie différentielle ou algébrique, l'espace K3, ou encore la surface K3, est la variété de Calabi-Yau de plus petite dimension différent d'un tore. C'est une variété complexe de dimension complexe 2[1] compacte et Kähler.

La surface K3 possède en outre la propriété d'être l'unique variété de Calabi-Yau distincte du 4-tore T^4\, d'un point de vue topologique ou différentiel. Cependant, en tant que variété complexe, il y a un nombre infini de surfaces K3 non isomorphes. On peut notamment les distinguer par le biais du morphisme de Torrelli.

Sommaire

Caractéristiques géométrique

La plupart des surfaces K3 ne sont pas des variétés algébriques. Ceci signifie qu'il est en général impossible de les réaliser comme l'ensemble des solutions d'équations polynomiales dans un espace projectif.

Cependant, ces surfaces sont d'abord apparues en géométrie algébrique et leur nom provient des trois géomètres Kummer, Kähler et Kodaira.

Le groupe de cohomologie H^2(X,\mathbb{Z}) est un groupe abélien libre de rang 22. Il est muni (par le produit en cohomologie) d'une forme quadratique non dégénérée de signature (3,19). En tant que réseau, ce groupe de cohomologie contient deux facteurs de type E8. On peut décrire explicitement la base orthogonale pour cette forme quadratique en considérant le diamant de Hodge pour K3 qui s'écrit

\begin{matrix} &&h_{0,0}&& \\ &h_{1,0}& &h_{0,1}& \\ h_{2,0,}&&h_{1,1}&&h_{0,2} \\ &h_{2,1}& &h_{1,2}& \\ &&h_{2,2}&& \\ \end{matrix} = \begin{matrix} &&1&& \\ &0& &0& \\ 1&&20&&1 \\ &0& &0& \\ &&1&& \\ \end{matrix}

où hi,j sont les dimensions des espaces de cohomologie de Dolbeault. Par ailleurs parmi les 20 (1,1)-formes, 19 sont selfduales avec une norme positive tandis que la (1,1) forme restante, accompagnée de la (2,0) et de la (0,2) formes sont anti-selfduales et possèdent une norme négative.

Comme tous les Calabi-Yau non-triviaux, on ne connaît pas à ce jour de métrique Ricci-plate explicite bien que son existence soit assurée par le théorème de Yau.

Utilisation en théorie des cordes

Cet espace est souvent utilisé comme espace de compactification en théorie des supercordes. Dans ce contexte, la surface K3 fait une apparition remarquable dans la dualité corde-corde qui affirme que la théorie de type IIA compactifiée sur la surface K3 est équivalente à la corde hétérotique compactifiée sur un tore à quatre dimensions.

Bibliographie

Notes

  1. ↑ D'où le nom de surface. En tant que variété réelle, elle possède une dimension 4

Voir aussi


Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article K3 (géométrie) de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Geometrie — Géométrie La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le XVIIIe siècle, aux figures de d autres types d espaces (géométrie projective, géométrie non… …   Wikipédia en Français

  • Géometrie — Géométrie La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le XVIIIe siècle, aux figures de d autres types d espaces (géométrie projective, géométrie non… …   Wikipédia en Français

  • GÉOMÉTRIE — La géométrie est communément définie comme la science des figures de l’espace. Cette définition un peu incertaine risque de conduire à inclure dans la géométrie des questions qui ne sont géométriques que dans leur langage, mais relèvent en fait… …   Encyclopédie Universelle

  • Geometrie euclidienne — Géométrie euclidienne Euclide. La géométrie euclidienne commence avec les Éléments d Euclide, qui est à la fois une somme des connaissances géométriques de l époque et une tentative de formalisation mathématique de ces connaissances. Les notions… …   Wikipédia en Français

  • Géométrie Euclidienne — Euclide. La géométrie euclidienne commence avec les Éléments d Euclide, qui est à la fois une somme des connaissances géométriques de l époque et une tentative de formalisation mathématique de ces connaissances. Les notions de droite, de plan, de …   Wikipédia en Français

  • Géométrie plane — Géométrie euclidienne Euclide. La géométrie euclidienne commence avec les Éléments d Euclide, qui est à la fois une somme des connaissances géométriques de l époque et une tentative de formalisation mathématique de ces connaissances. Les notions… …   Wikipédia en Français

  • Geometrie — Geometrie, die Lehre von den räumlichen Gebilden. Uebersicht. Man unterscheidet zunächst nach der Dimension: Geometrie der geraden Linie (Longimetrie), der Ebene (Planimetrie, vgl. Flächenberechnung), des Raumes (Stereometrie, s.d.) und der… …   Lexikon der gesamten Technik

  • Geometrie symplectique — Géométrie symplectique La géométrie symplectique est un domaine actif de la recherche mathématique, né de la volonté d une formulation mathématique naturelle à la mécanique classique. Elle est à la rencontre de la géométrie différentielle et des… …   Wikipédia en Français

  • Géométrie Symplectique — La géométrie symplectique est un domaine actif de la recherche mathématique, né de la volonté d une formulation mathématique naturelle à la mécanique classique. Elle est à la rencontre de la géométrie différentielle et des systèmes dynamiques. En …   Wikipédia en Français

  • Geometrie differentielle — Géométrie différentielle En mathématique, la géométrie différentielle est l application des outils du calcul différentiel à l étude de la géométrie. Les objets d étude de base sont les variétés différentielles, ensembles ayant une régularité… …   Wikipédia en Français

  • Geometrie projective — Géométrie projective La géométrie projective est le domaine des mathématiques qui modélise les notions intuitives de perspective et d horizon. Elle étudie les propriétés des figures inchangées par projection. Sommaire 1 Considérations historiques …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”