Involution (mathématiques)

Involution (mathématiques)
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En mathématiques, une involution est une opération qui est sa propre inverse.

Sommaire

Définition formelle

Soit M un monoïde, dont la loi de composition interne est notée \star et l'élément neutre noté e. On dit que a \in M est une involution si et seulement si

a \star a =e

L'un des cas fréquents est une involution dans un anneau par rapport à la deuxième loi.

Application involutive

L'un des cas fréquents d'involution porte sur les applications. Dans ce cas si f est une application d'un ensemble E dans lui-même, alors on dit que f est une involution ou une application involutive si et seulement si

f \circ f = \mathrm{id}_E

où idE est l'application identité sur E.

On "retombe" sur un élément après lui avoir appliqué deux fois de suite notre fonction. On a donc

\forall x \in E,\ f(f(x))=x

Propriétés

Une involution admet un inverse : elle-même. Les applications involutives sont des bijections.

Si \ f est une involution sur E, et si \ g est une bijection de E vers F, de fonction inverse \ g^{-1}, alors g \circ f \circ g^{-1} est une involution sur F.

\ f étant une involution sur E, si \ g est une bijection sur E telle que f \circ g \; = \; g^{-1} \circ f \; , alors f \circ g \; est une involution sur E.

Exemples

  • Pour tout a \in \R, la fonction f(x)= \frac{1}{x-a}+a \; , définie sur \R \mathcal{n} \{a\} \; , est une involution.
  • Pour tout a \in \R, la fonction f(x)= a-x \; , définie sur \R \; , est une involution.
  • L'application identité est involutive.
  • Les symétries du plan constituent un exemple d'applications involutives.
  • En arithmétique, la multiplication par -1 est aussi une involution.
  • Une permutation est une involution si et seulement si elle se décompose en cycles disjoints de longueurs inférieures ou égales à 2. Elle est ainsi exclusivement constituée de points fixes et de transpositions.
  • La conjugaison des nombres complexes est un automorphisme involutif.
  • En logique classique, la négation est involutive : « non non A » équivaut à « A » ; mais ce n'est pas le cas en logique intuitionniste.

Voir aussi


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