Inversion géométrique

Inversion géométrique

Inversion (géométrie)

Sommaire

Définition générale dans le cadre dun espace affine euclidien

Soit \mathcal{E}\, un espace affine euclidien,  \Omega\, un point de \mathcal{E}\, et k \in \mathbb{R}\,, alors pour tout point M\, de \mathcal{E}\, distinct de \Omega\,, il existe un unique point M'\, de \mathcal{E}\, tel que :

  • \Omega\,, M\, et M'\, sont alignés ;
  • \overline{\Omega M} \times \overline{\Omega M'} = k\, (produit des valeurs algébriques).

On peut ainsi définir linversion de centre \Omega\, et de rapport k\, comme lapplication de \mathcal{E}\backslash\{\Omega\} dans lui-même qui, à un point M, associe lunique point M'\, correspondant aux caractéristiques précédentes.


Propriétés

  • Une inversion de rapport non-nul est bijective (cest une involution : elle est sa propre réciproque).
  • On appelle sphère dinversion (ou cercle dinversion dans le plan) la sphère de centre \Omega\, et de rayon \sqrt{|k|}. Elle est toujours globalement invariante, et elle est invariante point par point lorsque le rapport est positif.
  • Les hyperplans passant par \Omega\, sont aussi des invariants globaux.

Le principal intérêt des inversions est la propriété de conservation hyperplans/hypersphères (ou des droites/cercles dans le plan:

Théorème
Lensemble constitué par les hypersphères et les hyperplans est stable par inversion. Autrement dit, limage, par une inversion, dune hypersphère ou dun hyperplan, est une hypersphère ou un hyperplan. Mais il est parfaitement possible que limage dune hypersphère (resp. dun hyperplan) soit un hyperplan (resp. une hypersphère).


Dans le plan

Dans le plan affine euclidien

Dans le plan affine euclidien, linverse dun point est constructible au compas lorsquon connait le cercle d'inversion, ce qui permet de démontrer le :

Théorème de Mohr et Mascheroni
Toute construction à la règle et au compas peut se faire uniquement au compas (à lexception des tracés des portions de droites).


Signalons aussi lexistence de "machines à inversion", linverseur de Charles Peaucellier :

L'inverseur est un objet mécanique avec deux barres OP et OQ de longueur fixe r_1\, et 4 autres barres MP, MQ, M'P, M'Q de longueurs fixes r_2\, avec les points de pivots aux sommets du losange OMPQM'.

Pour un point O\, du plan affine euclidien et un rapport k = r_1^2 - r_2^2\,, avec 0 < r_2 < r_1\,, on peut construire linverse géométrique, pour linversion de centre O\, et de rapport k\,, de tout point dans la couronne centrée en O\,, de rayon intérieur r_1 - r_2\,, et de rayon extérieur r_1 + r_2\, de la façon suivante :
  • Un point M\, dans la couronne étant donnée, il existe deux points dintersection P\, et Q\, du cercle de centre O\, et de rayon r_1\,, et du cercle de centre M\, et de rayon r_2\,
  • Puis on construit lunique point M'\, tel que PMQM'\, soit un losange.
  • Lapplication qui à M\, fait correspondre M'\, est bien linversion cherchée.
Inverseur Peaucellier.svg

Remarque : cet inverseur fut utilisé pour transformer un mouvement rectiligne en mouvement circulaire.
Voir : figure interactive de ChronoMath

Dans le plan complexe

Dans le plan complexe, une inversion particulière est celle par rapport au cercle unité ; en termes daffixe complexe, elle est codée par l'application z \mapsto \frac{1}{\overline{z} }=\frac{z}{|z|^2}. On voit ainsi que cette inversion est composée de la conjugaison complexe et dune homographie.

Cest en fait un résultat général : un cercle dinversion étant donné, on choisit trois points z_1, z_2, z_3\, sur ce cercle, puis lunique homographie f\, qui envoie z_1, z_2, z_3\, respectivement sur 0, 1, \infty\,. On vérifie alors que lapplication f^{-1} \circ c \circ f\,, c\, dénote la conjugaison complexe, est précisément linversion cherchée, et son écriture comme composée dune homographie et de la conjugaison complexe découle de lécriture de f\, et f^{-1}\, comme homographie.


On fait ensuite le lien avec le groupe circulaire, qui est lensemble des transformations, définies en fait sur la droite projective complexe, et qui envoient les droites et les cercles sur des droites et des cercles ; en identifiant la droite projective complexe à la sphère de Riemann, cette propriété de conservation sexprime plus simplement : ce sont les cercles tracés sur cette sphère qui sont conservés. Il est clair que les inversions appartiennent au groupe circulaire ; et relativement simple de montrer quil en est de même pour les homographies. On peut montrer ensuite quen fait, le groupe circulaire est engendré par inversions et homographies.


Voir aussi

Lien externe

Articles connexes

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