Intégration de fonctions rationnelles

Intégration de fonctions rationnelles

Primitives de fonctions rationnelles

Cet article fait partie de la série
Primitives de fonctions
Rationnelles
Logarithmes
Exponentielles
Irrationnelles
Trigonométriques
Hyperboliques
Circulaires réciproques
Hyperboliques réciproques

On suppose a ≠ 0 :

  • \int (ax+b)^n\,dx=
\frac{1}{(n+1)a}(ax+b)^{n+1}+C (n ∈ ℤ\{-1})



  • \int \frac{1}{ax+b}\,dx=\frac{1}{a}\ln |ax+b|+C


  • \int\frac{1}{ax^2+bx+c}\,dx=\left\{\begin{matrix}\frac{2}{\sqrt{-(b^2-4ac)}}\operatorname{Arctan}\frac{2ax+b}{\sqrt{-(b^2-4ac)}} +C & \rm{\, si \,} & b^2-4ac<0\\ -\frac{2}{2ax+b} +C & \rm{\, si\,} & b^2-4ac=0\\\frac{2}{\sqrt{b^2-4ac}}\operatorname{argth}\frac{2ax+b}{\sqrt{b^2-4ac}}     +C &\rm{\, si \,} & b^2-4ac>0\\\rm{ou} \frac{1}{\sqrt{b^2-4c}}\ln \left|\frac{2ax+b-\sqrt{b^2-4ac}}{2ax+b+\sqrt{b^2-4ac}}\right| +C & \rm{\, idem} &\end{matrix}\right.


  • \int \frac{x}{ax^2+bx+c}\,dx=\frac{1}{2a}\ln |ax^2+bx+c|-\frac{b}{2a}\int\frac{1}{ax^2+bx+c}\,dx



Quand b2 − 4ac < 0, et pour n∈ℕ\{0,1} on a :

  • \int \frac{1}{(ax^2+bx+c)^n}\,dx=

-\frac{2ax+b}{(n-1)(b^2-4ac)(ax^2+bx+c)^{n-1}}-\frac{2(2n-3)a}{(n-1)(b^2-4ac)}\int\frac{1}{(ax^2+bx+c)^{n-1}}\,dx


Quand b2 − 4ac < 0, et pour n∈ℕ\{0,1} on a :

  • \int \frac{x}{(ax^2+bx+c)^n}\,dx=

\frac{bx+2c}{(n-1)(b^2-4ac)(ax^2+bx+c)^{n-1}}+\frac{(2n-3)b}{(n-1)(b^2-4ac)}\int\frac{1}{(ax^2+bx+c)^{n-1}}\,dx

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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Intégration de fonctions rationnelles de Wikipédia en français (auteurs)

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