Primitives de fonctions rationnelles

Primitives de fonctions rationnelles

On suppose a ≠ 0 :

\int (ax+b)^n\,\mathrm dx= \frac{1}{(n+1)a}(ax+b)^{n+1}+C (n ∈ ℤ\{-1})
\int \frac{1}{ax+b}\,\mathrm dx=\frac{1}{a}\ln |ax+b|+C
\int\frac{1}{ax^2+bx+c}\,\mathrm dx=\left\{\begin{array}{lll}\frac{2}{\sqrt{-(b^2-4ac)}}\operatorname{Arctan}\frac{2ax+b}{\sqrt{-(b^2-4ac)}} +C & \text{ si } & b^2-4ac<0\\ -\frac{2}{2ax+b} +C & \text{ si } & b^2-4ac=0\\\frac{2}{\sqrt{b^2-4ac}}\operatorname{argth}\frac{2ax+b}{\sqrt{b^2-4ac}} +C &\text{ si } & b^2-4ac>0\\\text{ou } \frac{1}{\sqrt{b^2-4c}}\ln \left|\frac{2ax+b-\sqrt{b^2-4ac}}{2ax+b+\sqrt{b^2-4ac}}\right| +C & \text{ idem} &\end{array}\right.
\int \frac{x}{ax^2+bx+c}\,\mathrm dx=\frac{1}{2a}\ln |ax^2+bx+c|-\frac{b}{2a}\int\frac{1}{ax^2+bx+c}\,\mathrm dx

Quand b2 − 4ac < 0, et pour n ∈ ℕ\{0,1} on a :

\begin{align}\int \frac{1}{(ax^2+bx+c)^n}\,\mathrm dx= -\frac{2ax+b}{(n-1)(b^2-4ac)(ax^2+bx+c)^{n-1}}-\frac{2(2n-3)a}{(n-1)(b^2-4ac)}\int\frac{1}{(ax^2+bx+c)^{n-1}}\,\mathrm dx\end{align}

Quand b2 − 4ac < 0, et pour n ∈ ℕ\{0,1} on a :

\int \frac{x}{(ax^2+bx+c)^n}\,\mathrm dx= \frac{bx+2c}{(n-1)(b^2-4ac)(ax^2+bx+c)^{n-1}}+\frac{(2n-3)b}{(n-1)(b^2-4ac)}\int\frac{1}{(ax^2+bx+c)^{n-1}}\,\mathrm dx
v · Primitives de fonctions
Rationnelles · Logarithmes · Exponentielles · Irrationnelles · Trigonométriques · Hyperboliques · Circulaires réciproques · Hyperboliques réciproques

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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Primitives de fonctions rationnelles de Wikipédia en français (auteurs)

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