- Identité hypergéométrique
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Une identité hypergéométrique est un résultat sur des sommes de termes d'une série hypergéométrique. De telles identités apparaissent fréquemment dans des problèmes de combinatoire et d'analyse d'algorithme. Les premières identités ont été trouvées à la main par des mathématiciens brillants comme Carl Friedrich Gauss ou Ernst Kummer. Maintenant, l'objectif est d'obtenir des algorithmes qui automatisent les démonstrations de ces inégalités.
La liste des identités hypergéométriques est parfois appelée liste de Bailey suite à l'ouvrage de Wilfrid Norman Bailey (en)[1].
Parmi les identités hypergéométriques les plus classiques
Sommaire
Automatisation de la preuve
La preuve automatisée repose sur deux étapes :
- trouver une expression simple de la somme hypergéométrique, dans le meilleur des cas une forme close ;
- montrer par A=B que cette expression est bien égale à la somme initiale.
Pour chaque type de somme hypergéométrique, il existe de nombreuses méthodes pour trouver une expression simple. Ces méthodes offrent aussi une preuve de l'égalité. On peut nommer :
- pour les sommes définies : la méthode de sœur Celine, mise en valeur par Doron Zeilberger et Herbert Wilf (en)
- pour les sommes indéfinies : l'algorithme de Gosper.
Les méthodes employées font souvent appel à des résultats du calcul formel.
Référence
- (en) W. N. Bailey, Generalized Hypergeometric Series, Cambridge University Press, coll. « Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics » (no 32), 1935
Voir aussi
Article connexe
Théorème hypergéométrique de Gauss
Liens externes
- (en) Marko Petkovšek (en), Herbert Wilf et Doron Zeilberger, A = B. Il s'agit d'un ouvrage explicitant un algorithme pour trouver une relation de récurrence à partir d'une identité. Faisant appel à un logiciel de calcul formel, tels Maple et Mathematica, l'algorithme a mis fin au besoin de tenir un catalogue d'identités et de relations de récurrence.
- Séries hypergéométriques : de Sœur Celine à Zeilberger et Petkovsek [PDF] par D. Monasse, Lycée Louis-le-Grand, 1999
- (en) Special Functions sur exampleproblems.com
- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Hypergeometric identities » (voir la liste des auteurs)
Catégories :- Analyse
- Fonction hypergéométrique
- Identité mathématique
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