Identité de Chu-Vandermonde

Identité de Chu-Vandermonde

Identité de Vandermonde

En mathématiques combinatoires, l'identité de Vandermonde, nommée d'après Alexandre-Théophile Vandermonde, affirme que

{n+m \choose r}=\sum_{k=0}^r{n \choose k}{m \choose r-k}.

Sommaire

Preuve

Algébrique

Elle peut être démontrée de façon algébrique.

Le produit de deux polynômes à une variable est donné par :

\left( \sum_{i=0}^n a_ix^i \right) \left( \sum_{i=0}^m b_ix^i \right) = \sum_{k=0}^{m+n} \left( \sum_{j=0}^k a_jb_{k-j} \right) x^k \quad\text{ avec } m, n \in \mathbb{N}

Par le théorème du binôme de Newton, nous savons que

(1+x)^{m+n} = \sum_{r=0}^{m+n} \binom{m+n}{r}x^r

Nous pouvons transformer cette égalité en produit de polynômes.

\begin{array}{ll} \sum_{r=0}^{m+n} \binom{m+n}{r}x^r & = (1+x)^{m+n} \\ & = (1+x)^{n} (1+x)^{m} \\ & = \left( \sum_{i=0}^{n} \binom{n}{i}x^i \right) \left( \sum_{j=0}^{m} \binom{m}{j}x^j \right) \end{array}

En utilisant l'équation du produit de polynômes plus haut et en simplifiant le résultat, l'identité de Vandermonde apparaît :

\begin{array}{ll} \sum_{r=0}^{m+n} \binom{m+n}{r}x^r & = \sum_{r=0}^{m+n} \left( \sum_{k=0}^{r} \binom{n}{k} \binom{m}{r-k} \right) x^r \\ \binom{m+n}{r}x^r & = \left( \sum_{k=0}^{r} \binom{n}{k} \binom{m}{r-k} \right) x^r \\ \binom{n+m}{r} & = \sum_{k=0}^{r} \binom{n}{k} \binom{m}{r-k} \end{array}

Bijective

Une preuve bijective est aussi possible. Supposons qu'un comité parlementaire soit composé de membres de deux partis politiques seulement, l'un comptant n membres, les « vert », l'autre m membres, les « jaunes ». Combien peut-on former de comités de taile r à partir de ces deux partis? La réponse est bien sûr

{n+m \choose r}.

Cette valeur est aussi donnée par la somme de toutes les valeurs de k du nombre de comités composé de k verts et r - k jaunes.

Distribution de probabilités hypergéométrique

Lorsque les deux côtés de cette identité sont divisés par l'expression à la gauche, alors les termes obtenus peuvent être interprétés comme des probabilités, lesquelles sont donnés par la distribution hypergéométrique. C'est la probabilité de tirer des billes rouges en r tirages sans remise d'une urne contenant n billes rouge et m billes bleu. Par exemple, supposons qu'une personne est responsable de créer un comité de r membres tirés au hasard parmi n verts et m jaune. Alors quelle est la probabilité qu'il y ait exactement k verts dans le comité ? La réponse se trouve dans cette distribution.

Identité de Chu-Vandermonde

L'identité de Chu-Vandermonde la généralise pour des valeurs non-entières :

{s+t \choose n}=\sum_{k=0}^\infty{s \choose k}{t \choose n-k}

Elle est vraie pour tous nombres complexes s et t.

Elle est un cas spécial du théorème hypergéométrique de Gauss qui affirme que

\;_2F_1(a,b;c;1) = \frac{\Gamma(c)\Gamma(c-a-b)}{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)}

où \;_2F_1 est la série hypergéométrique et Γ(n + 1) = n! est la fonction gamma. Il suffit d'appliquer a = -n et l'identité

{n\choose k} = (-1)^k {k-n-1 \choose k} à plusieurs reprises.

Lien externe

  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « Identit%C3%A9 de Vandermonde ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Identité de Chu-Vandermonde de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем написать курсовую

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Identite de Vandermonde — Identité de Vandermonde En mathématiques combinatoires, l identité de Vandermonde, nommée d après Alexandre Théophile Vandermonde, affirme que Sommaire 1 Preuve 1.1 Algébrique …   Wikipédia en Français

  • Identité De Vandermonde — En mathématiques combinatoires, l identité de Vandermonde, nommée d après Alexandre Théophile Vandermonde, affirme que Sommaire 1 Preuve 1.1 Algébrique …   Wikipédia en Français

  • Identité de vandermonde — En mathématiques combinatoires, l identité de Vandermonde, nommée d après Alexandre Théophile Vandermonde, affirme que Sommaire 1 Preuve 1.1 Algébrique …   Wikipédia en Français

  • Identité de Vandermonde — En mathématiques combinatoires, l identité de Vandermonde, nommée d après Alexandre Théophile Vandermonde (1772), affirme que Sommaire 1 Preuve 1.1 Algébrique 1.2 …   Wikipédia en Français

  • Liste Des Équations Et Formules — Ceci est une Liste des équations et formules par ordre alphabétique. Cette liste contient les équations, les formules, les relations et autres identités, égalités ou inégalités. Sommaire : Haut A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X …   Wikipédia en Français

  • Liste des equations et formules — Liste des équations et formules Ceci est une Liste des équations et formules par ordre alphabétique. Cette liste contient les équations, les formules, les relations et autres identités, égalités ou inégalités. Sommaire : Haut A B C D E F G H …   Wikipédia en Français

  • Liste des équations et formules — Ceci est une Liste des équations et formules par ordre alphabétique. Cette liste contient les équations, les formules, les relations et autres identités, égalités ou inégalités. Sommaire : Haut A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X …   Wikipédia en Français

  • Liste des articles de médecine — Projet:Médecine/Index Articles 0 9 112 (numéro d urgence européen) · 2 iodothyronine déiodinase · 2,4,6 trichlorophénol · 3000 Scénarios contre un virus · A A. J. Cronin · Aaron Esterson · Aaron Temkin Beck · Abacavir · Abascantus · Abasie ·… …   Wikipédia en Français

  • Projet:Médecine/Index — Articles 0 9 1,2 dibromo 3 chloropropane · 112 (numéro d urgence européen) · 1935 en santé et médecine · 1941 en santé et médecine · 1er régiment médical · 2 iodothyronine déiodinase · 2,4,6 trichlorophénol · 2005 en santé et médecine · 2006 en… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”