Identité des quatre carrés d'euler

Identité des quatre carrés d'Euler

En mathématiques, l'identité des quatre carrés d'Euler énonce que le produit de deux nombres, chacun étant la somme de quatre carrés, est lui-même une somme de quatre carrés. Précisément :

$(a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2+b_4^2)\,$

$=(a_1 b_1-a_2 b_2 - a_3 b_3 - a_4 b_4)^2 + (a_1 b_2 + a_2 b_1 + a_3 b_4 - a_4 b_3)^2\,$

$+\,(a_1 b_3 - a_2 b_4 + a_3 b_1 + a_4 b_2)^2 + (a_1 b_4 + a_2 b_3 - a_3 b_2 + a_4 b_1)^2\,$

Le mathématicien suisse Euler écrivit à propos de cette identité en 1750. Elle se démontre facilement par simple calcul d'algèbre élémentaire et se conserve dans chaque anneau commutatif. Si a et b sont des nombres réels, une démonstration plus élégante est valide : l'identité exprime le fait que la valeur absolue du produit de deux quaternions est égale au produit de leurs valeurs absolues, de la même manière que l'identité de Brahmagupta pour les nombres complexes.

L'identité fut utilisée par Lagrange pour prouver son théorème des quatre carrés. Elle est utilisée en arithmétique modulaire.

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