Hyperboloïde

Hyperboloïde

En mathématiques, et plus précisément en géométrie, un hyperboloïde est une surface du second degré de l'espace euclidien. Il fait donc partie des quadriques, avec pour caractéristique principale de posséder un centre de symétrie et de s'étendre à l'infini.

Les sections non triviales d'un hyperboloïde avec un plan sont des paraboles, des ellipses ou des hyperboles. On distingue deux types d'hyperboloïdes, connexes ou non, chaque partie connexe s'appelant une nappe.

Le cône peut être vu comme une forme dégénérée d'hyperboloïde.

Sommaire

Hyperboloïde à une nappe

Hyperboloïde à une nappe

Dans un repère bien choisi, son équation cartésienne est de la forme

{x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} - {z^2 \over c^2}-1=0

Le cas a = b fournit, en repère orthonormé, le cas particulier d'un hyperboloïde de révolution. L'axe de rotation doit être l'axe non transverse pour que la surface ne possède qu'une nappe. Les sections avec un plan perpendiculaire à l'axe de rotation sont alors des cercles :


\frac{x^2+y^2}{a^2}-\frac{z^2}{c^2}-1=0 (une nappe)


Le dessin ci-contre utilise une hyperbole équilatère, alors a = b = c.

Un château d'eau de forme hyperboloïde - on aperçoit les renforcements rectilignes.

On peut générer cette surface par rotation d'une droite autour d'un axe qui ne lui est pas coplanaire. On peut aussi l'obtenir comme l'ensemble des droites qui coupent trois droites fixées non coplanaires et pas toute parallèles à un même plan. Ces propriétés justifient que l'hyperboloïde à une nappe est une surface réglée non développable. Cela permet, en pratique, de réaliser le coffrage de construction de certains châteaux d'eau et de certaines tours de refroidissement de centrales à partir d'éléments rectilignes, ce qui leur assure une certaine stabilité.

Hyperboloïde à deux nappes

Hyperboloïde à deux nappes

Dans un repère bien choisi, son équation cartésienne est de la forme

{x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} - {z^2 \over c^2}+1=0

C'est la seule quadrique non connexe (avec la forme dégénérée qu'est le cylindre hyperbolique).

Le cas a = b fournit, en repère orthonormé, le cas particulier d'un hyperboloïde de révolution. L'axe de rotation doit être l'axe focal pour que la surface possède deux nappes. Les sections avec un plan perpendiculaire à l'axe de rotation sont alors des cercles soit :

\frac{x^2+y^2}{a^2}-\frac{z^2}{c^2}+1=0 (deux nappes)

Le dessin ci-contre utilise une hyperbole équilatère, alors a = b = c.

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