Histoire de la geometrie

Détail d'une enluminure du XIV^e siècle, contrepoinçon d'une lettre capitale P, au début des Éléments d'Euclide, dans une traduction attribuée à Adélar de Bath. Une femme porte une équerre d'une main et utilise un compas de l'autre pour mesurer des distances sur un diagramme. Un groupe de moines, apparemment ses étudiants, la regardent. Au moyen-age, la représentation d'une femme dans un rôle d'enseignant est inhabituelle. La femme représentée ici serait donc plutôt une personnification de la géométrie.

L' histoire de la géométrie (géométrie: du grec γεωμετρία; géo=Terre, metria=mesure) concerne le domaine de la connaissance traitant des relations spatiales. Celle-ci a été l'un des deux domaines des mathématiques pré-modernes avec l'étude des nombres.

La géométrie classique issue de celle d'Euclide est basée sur des constructions obtenues à l'aide de la droite et du cercle, donc du compas et de la règle. Avec la construction de figures complexes et la nécessité de la mesure, la barrière entre la géométrie et l'étude des nombres (algèbre) s'est peu à peu estompée.

A l'époque moderne, les concepts géométriques ont été généralisés à un haut degré d'abstraction et de complexité. Ceux-ci ont été soumis à des méthodes de calcul et d'abstraction algébrique d'où sont nées plusieurs branches au sein des mathématiques.

Les premières traces de géométrie

Si les grecs peuvent être considérés comme les fondateurs de la géométrie en tant que science et discipline mathématique, de nombreuses connaissances en géométrie, nécessaires à la topographie, l'architecture, l'astronomie et l'agriculture, ont cependant précédé la civilisation grecque. Les premières notions de géométrie reconnues remontent à 3000 avant JC, du temps de l'Égypte ancienne, de l'ancienne civilisation hindoue, des babyloniens et peut-être (mais l'hypothèse reste controversée) au sein de peuplades mégalithiques de Grande-Bretagne et de Bretagne.

Géométries égyptiennes et babyloniennes

Les pyramides égyptiennes et les plans d'irrigation témoignent d'une connaissance du moins empirique des figures planes et des solides. Les premiers résultats étaient un ensemble de principes empiriques concernant les longueurs, les angles, les aires et les volumes ; ils étaient développés pour les besoins de l'architecture, de l'agriculture et de l'astronomie. Parmi ces résultats, on peut citer des versions du théorème de Pythagore, développé par les Egyptiens et les Babyloniens 1500 ans avant les Pythagoriciens, une table de trigonométrie chez les Babyloniens, ou encore la formule exacte du volume d'une pyramide carrée tronquée.

La tablette pré-babylonienne YBC 7289 datant de -1700 ± 100 témoigne des premiers questionnements sur le calcul des longueurs et donne une bonne approximation de la longueur de la diagonale d'un carré.

Géométrie sumérienne

La découverte de la tablette Plimpton 322 tend à montrer que le théorème de Pythagore était vraisemblablement connu de la civilisation sumérienne 1000 ans avant Pythagore.

Géométrie indienne (3000-500 AJC)

La civilisation de la vallée de l'Indus a développé des résultats de géométrie aussi développés que leurs contemporains en Mésopotamie et en Égypte. Ce développement fut en partie développé par l'urbanisme : les rues dessinent dans les villes des quadrillages, à l'image des villes américaines actuelles.

Géométrie chinoise

Les Neuf Chapitres sur l'art mathématique, texte fondamental des connaissances de la civilisation chinoise, offrent des calculs d'aires et de volumes, et une formulation du théorème de Pythagore.

L'héritage grec

Géométrie grecque (600-300 AJC)

Pour les mathématiciens de la Grèce antique, la géométrie était le cœur des sciences, atteignant une richesse de méthodologie inégalée dans les autres domaines du savoir. Ils étudièrent de nouvelles figures, dont des courbes, surfaces et solides. Ils reconnurent que les objets physiques ne sont que des approximations des formes étudiées en géométrie.

Thalès de Milet et Pythagore sont connus pour être parmi les premiers à développer un raisonnement hypothético-déductif et s'interroger sur la valeur des raisonnements^{[réf. nécessaire]}. On attribue généralement à Thalès l'égalité des angles opposés, l'égalité des angles à la base d'un triangle isocèle, l'étude des angles inscrits et le théorème de Thalès. On attribue aux pythagoriciens la preuve du théorème dit de Pythagore, et la figuration des nombres entiers.

Platon introduit les cinq solides dits platoniciens : le tétraèdre, le cube, l'octaèdre, l'isocaèdre et le dodécaèdre. Les proportions et l'incommensurabilité sont introduites par Eudoxe. Euclide résume dans ses Eléments de manière précise et rigoureuse les principaux travaux connus à son époque en géométrie. Mais ce traité ne comprend pas le calcul des aires et des volumes.

Par ailleurs, Platon, bien que non mathématicien, introduit l'idée que toutes les figures géométriques puissent être construites à l'aide d'une règle non graduée et d'un compas parfait. Se posa alors des problèmes tels que la trisection de l'angle, la quadrature du cercle, et la duplication du cube. Ce dernier problème, incita Ménechme à introduire les coniques.

Origine probable

L'origine de la géométrie, comme l'origine de la science, est sujette à discussion suivant son acception. Traditionnellement, les premiers travaux de géométrie remontent à la Grèce antique. En effet, les Éléments d'Euclide sont incontestablement la première formulation axiomatique de la géométrie.

Géométrie hellénistique (300 avant notre ère - 500 de notre ère)

La géométrie helléniste commence avec l'écriture des éléments d'Euclide. Est présenté un système d'axiomes pour la géométrie euclidienne. Les éléments ne résument pas les connaissances en géométrie de l'époque.

Apport des arabes

Outre la traduction des textes grecs à travers laquelle l'Europe reconstruit l'héritage grec, les mathématiciens de langue arabe ont fortement développé la trigonométrie. On leur attribue les fonctions trigonométriques introduites par Nasir ad-Din at-Tusi, le théorème d'Al-Kashi, des approximations poussées de Pi, etc.

Les mathématiciens de langue arabe ont été les premiers à appliquer une approche algébrique pour paramétrer les courbes, géométrie algébrique.

Naissance de la géométrie analytique

Le Discours de la méthode de René Descartes

Première page de La Géométrie de René Descartes.

La géométrie au XIX^e siècle

Géométrie non euclidienne

Jusqu'au XIX^e siècle n'était étudiée qu'une géométrie, fondée sur les axiomes d'Euclide, et qui était considérée comme la géométrie véritable de l'espace physique. La découverte de géométries non euclidiennes par Gauss, Lobatchevsky, Bolyai modifia complètement cette appréhension de l'espace absolu.

Différents types de géométries prirent alors leur autonomie : géométrie hyperbolique, géométrie elliptique, chacune s'appuyant sur un modèle différent d'espace. Plus important encore que les modèles permettant la réalisation concrète d'une géométrie, est le jeu d'axiomes auquel on peut la ramener.

Le programme d'Erlangen

Le programme d'Erlangen, publié en 1872 sous le titre « Considération comparatives sur les recherches géométriques modernes », est l'œuvre de Felix Klein. C'est un important travail de synthèse qui valide^[1] les géométries non-euclidiennes et donne à la géométrie projective un rôle central. Ce travail constitue une troisième approche de la géométrie par la théorie des groupes. Selon la conception de Klein, la géométrie est l'étude des espaces de points sur lesquels opèrent des groupes de transformations (appelées aussi symétries) et des quantités et des propriétés qui sont invariantes pour ces groupes.

Le problème de l'écriture en géométrie

L'évolution d'une connaissance est presque toujours liée à l'élaboration d'une écriture adaptée. On pourrait en citer de nombreux exemples mais c'est surtout en Mathématiques qu'on peut faire cette observation.

En algèbre si on considère les textes de Diophante écrits au quatrième siècle de notre ère et réservés alors à une élite intellectuelle, ils nous sont presque devenus incompréhensibles tellement nous savons les écrire dans le langage codé des mathématiques d'aujourd'hui. Par exemple l'énoncé de son XXXVI° problème dans le Livre I est : Trouver deux nombres qui soient dans un rapport donné, et tels que le carré du plus petit nombre ait un rapport donné avec le plus petit nombre. Ce qui se traduit aujourd'hui par: trouver X et Y tels que X/Y=a et Y²/Y=b devenu sous cette forme si facile à résoudre que n'importe quel collégien peut en donner la réponse.

Par contre si on prend un texte d'Euclide il en va tout à fait différemment. Par exemple sa 5° proposition dans son Livre I s'énonce " Dans tout triangle isocèle les angles à la base sont égaux". Il écrivait plus de sept siècles avant Diophante et pourtant son énoncé est si actuel qu'on peut encore le trouver tel quel dans les livres de nos collégiens d'aujourd'hui. Cela vient de ce que nous n'avons pas su trouver une écriture géométrique dédiée.

Cette question fut pendant toute sa vie l'obsession de Leibniz. Dans le livre " La Logique de Leibniz" que lui a consacré L Couturat (voir liens)on lit en effet " Le développement des Mathématiques et leur fécondité tient, selon Leibnz à ce qu'elles ont trouvé des symboles commodes dans les chiffres arithmétiques et dans les signes algébriques. Si au contraire la Géométrie est relativement moins avancée, c'est parce qu'elle a manqué jusqu'ici de caractères propres à représenter les figures". Et Leibniz était un expert en la matière puisque il fut conjointement avec Newton le découvreur du Calcul infinitésimal, mais que seules les notations de Leibniz furent conservées parce que plus performantes. En géométrie hélas il n'y est pas arrivé.

Aujourd'hui ( voir lien Depuis Euclide )il serait possible de mettre en place une telle écriture qui répondrait à l'exigence de Leibniz, c'est à dire que l'écriture d'une figure contiendrait en elle même toutes les propriétés de cette figure de même qu'en algèbre l'écriture ax²+bx+c=0 contient en elle même toutes les données nécessaires à sa résolution. Mais dans les collèges et dans les Lycées la géométrie est devenue le parent pauvre des Mathématiques. Elle ne subsiste plus que dans une seule des filières du Baccalauréat. Et par suite le développement d'une écriture spécifique à la géométrie n'est pas d'actualité. Aussi, comme au temps d'Euclide, nous continuons à "parler d'un triangle isocèle ou d'un triangle équilatéral" mais nous ne savons pas "les écrire".

Liens: La Logique de Leibniz par Louis Couturat http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k110843d.r=louis+couturat.langFR

Depuis Euclide http://depuiseuclide.free.fr/page4.htm

Notes

Références

• Amy Dahan-Dalmedico, Jeanne Peiffer, Une histoire des mathématiques., Seuil-sciences, 1986. 
• Jean-Paul Collette, Histoire des mathématiques, vol. 2, Vuibert, 1979 (ISBN 2-7613-0118-8) 
• Michel Serres, Les origines de la géométrie, Flammarion, 1993 (ISBN 2-08-081331-5) 

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