Hille Yosida

Théorème de Hille-Yosida

En théorie des semi-groupes, le théorème de Hille-Yosida est un outil puissant et fondamental reliant les propriétés de dissipation de l'énergie d'un opérateur non borné $A : D(A) \subset X \longrightarrow X$ à l'existence-unicité et la régularité des solutions d'une équation différentielle (E) $\begin{cases} x'(t) = Ax(t) \\ x(0) = x_0 \end{cases}$ .

Sommaire

1 Semi-groupes
- 1.1 Définitions
- 1.2 Propriétés des semi-groupes de contraction
2 Opérateurs dissipatifs
- 2.1 Définitions
- 2.2 Propriétés des opérateurs m-dissipatifs
3 Théorème de Hille-Yosida
- 3.1 Enoncé
- 3.2 Régularité des solutions
4 Exemples
- 4.1 L'équation de la chaleur
- 4.2 L'équation des ondes

Semi-groupes

La théorie des semi-groupes doit son origine à l'étude du flot d'une équation différentielle ordinaire autonome en dimension finie ainsi que de l'exponentielle d'opérateurs.

Définitions

Soit $X$ un espace de Banach; on dit que la famille d'opérateurs linéaires $\left(S(t)\right)_{t\geq0}$ est un semi-groupe (fortement continu) si :

(i)

$\forall t\geq 0, ~ S(t)\in\mathcal{L}(X)$

(i i)

$S(0) = Id_{\mathcal{L}(X)}$

(i i i)

$\forall (s,t) \geq 0, ~ S(s+t) = S(s) \circ S(t)$

(i v)

$\forall x \in X, ~ \lim_{t \rightarrow 0^+}S(t)x=x$

La condition $(i v)$ est équivalente à ce que $\forall x\in X, ~ t \mapsto S(t)x ~ \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R}^+,X)$ . Si on remplace $(i v)$ par $(i v) *$ : $\lim_{t \rightarrow 0^+}||S(t)-Id||_{\mathcal{L}(X)}=0$ on dit que $\left(S(t)\right)_{t\geq0}$ est uniformément continu.

On retrouve (vaguement) avec cette définition la notion de famille à un paramètre de difféomorphismes bien connue en théorie des EDO.

On définit le générateur infinitésimal $(A, D (A))$ d'un un semi-groupe fortement continu $\left(S(t)\right)_{t \geq 0}$ comme l'opérateur non borné $A : D(A) \subset X \longrightarrow X$ où:

$D(A)=\{ x\in X, ~ \lim_{t \rightarrow 0} \frac{S(t)x -x}{t} \text{ existe}\}$

$\forall x \in D(A), ~ Ax = \lim_{t \rightarrow 0} \frac{S(t)x -x}{t}$

Dans le cas où $D (A) = X$ et $A \in \mathcal{L}(X)$ la famille d'opérateurs $\left(e^{tA}\right)_{t \geq 0}$ (définie classiquement par sa série) est un semi-groupe fortement continu de générateur infinitésimal $A$ : c'est pourquoi on note parfois abusivement $S (t) = e t A$ .

On dit que le semi-groupe $\left(S(t)\right)_{t\geq0}$ est de contraction si $\forall t \geq 0, ~ ||S(t)||_{\mathcal{L}(X)}\leq 1$ .

Propriétés des semi-groupes de contraction

Théorème 1: soit $X$ un espace de Banach, $\left(S(t)\right)_{t\geq0}$ un semi-groupe de contraction sur $X$ et $(A, D (A))$ son générateur infinitésimal. Alors:

(i)

$\forall x \in X$ le flot $t \mapsto S(t)x \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R}^+,X)$

(i i)

$\forall x \in X$ et $\forall t \geq 0$ $S(t)x \in D(A)$ , le flot $t \mapsto S(t)x \in \mathcal{C}^1(\mathbb{R}^+,X)$ et vérifie

x'(t) = A x (t)

(i i i)

(A, D (A))

est fermé de domaine dense.

Théorème 2 (caractérisation des générateurs infinitésimaux): soit $A : D(A) \subset X \longrightarrow X$ un opérateur non borné sur $X$ . On a l'équivalence:

(i)

(A, D (A))

est le générateur infinitésimal d'un semi-groupe de contraction

(i i)

D (A)

est dense et pour toute condition initiale $x_0 \in D(A)$ il existe une unique solution $t \mapsto x(t) \in \mathcal{C}^1(\mathbb{R}^+,X)$ de (E).

De plus sous cette hypothèse la solution $x (t)$ est à valeurs dans $D (A)$ et vérifie $||x(t)||_X \leq ||x_0||_X$ ainsi que $||x'(t)||_X \leq ||Ax(t)||_X \leq ||Ax_0||_X$ (inégalités d'énergie).

On commence à voir apparaître le lien entre le problème (E) et la notion de semi-groupe. Pour préciser, il faut maintenant introduire la notion d'opérateur dissipatif.

Opérateurs dissipatifs

Définitions

Un opérateur $(A, D (A))$ est dissipatif si $\forall x\in D(A) \text{ et } \forall \lambda >0, ~ ||x-\lambda Ax|| \geq ||x||$ . Dans le cas où $X = H$ est hilbertien on montre que $A$ est dissipatif si et seulement si $\forall x\in D(A) ~ \mathfrak{Re}(<Ax,x>_H) \leq 0$ .

Remarque: Si $(A, D (A))$ est un opérateur dissipatif alors $\forall \lambda > 0$ l'opérateur $(I d - λ A)$ est injectif car $(I-\lambda A)x = 0 \Rightarrow 0 \leq ||x|| \leq ||(I-\lambda A)x||=0 \Rightarrow x= 0$ .

Si de plus $\forall \lambda >0, ~ Id - \lambda A$ est surjectif on dit que $(A, D (A))$ est maximal-dissipatif (ou m-dissipatif). On peut montrer que $\forall \lambda >0, ~ Id - \lambda A ~ \text{surjectif} \Leftrightarrow \exists \lambda_0 ~ tq ~ Id - \lambda_0 A ~ \text{surjectif}$ . En pratique pour montrer qu'un opérateur est m-dissipatif on montre d'abord à la main qu'il est dissipatif et on résout ensuite un problème variationnel pour une valeur $λ 0$ bien choisie (par exemple avec le théorème de Lax-Milgram, voir exemple de l'équation de la chaleur traité plus bas).

Dans ce cas l'opérateur $(I d - λ A)$ est un isomorphisme (a priori non continu) de $L (A, X)$ et on note $J λ = (I d - λ A) - 1$ . De plus, comme $||J_{\lambda}y||_X \leq ||(Id-\lambda A)[J_{\lambda}y]||_X \leq ||y||_X$ , $J_{\lambda} \in \mathcal{L}\left((X,||.||_X),(D(A),||.||_X)\right)$ . Nous allons voir que cette propriété de continuité peut être améliorée (on va rendre moins fine la topologie sur $(D (A), | | . | | X)$ en munissant $D (A)$ d'une norme $| | . | | D (A)$ ).

Propriétés des opérateurs m-dissipatifs

Prop 1: si $(A, D (A))$ est m-dissipatif alors c'est un opérateur fermé.

Corollaire 1: pour $x \in D(A)$ on pose $| | x | | D (A) = | | x | | X + | | A x | | X$ . Alors $| | . | | D (A)$ est une norme pour laquelle $D (A)$ est un espace de Banach et $A \in \mathcal{L}\left((D(A),||.||_A),(X,||.||_X)\right)$ .

Prop 2: si $H$ est un espace Hilbertien et $A : D(A) \subset H \longrightarrow H$ est m-dissipatif alors il est à domaine dense.

Prop 3: réciproquement si $A : D(A) \subset H \longrightarrow H$ est de domaine dense, dissipatif, fermé et tel que son adjoint $(A *, D (A *))$ est dissipatif alors $(A, D (A))$ est m-dissipatif.

Corollaire 3: toujours dans le cadre hilbertien

(i)

(A, D (A))

est dissipatif autoadjoint à domaine dense alors il est m-dissipatif

(i i)

(A, D (A))

est antioadjoint à domaine dense alors il est m-dissipatif

Remarque: dans $(i i)$ la condition de dissipativité n'est pas nécessaire car $(A, D (A))$ autoadjoint entraîne que $< A x, x > H = 0$ donc la dissipativité, voir l'exemple de l'équation des ondes plus bas.

Théorème de Hille-Yosida

Enoncé

Théorème 3 (Hille-Yosida): soit $X$ un espace de Banach et $A : D(A) \subset X \longrightarrow X$ un opérateur non borné. On a l'équivalence

(i)

(A, D (A))

est m-dissipatif à domaine dense

(i i)

(A, D (A))

est le générateur infinitésimal d'un semi-groupe de contraction

Le point $(i)$ du théorème précédent peut être réécrit en termes de résolvante : $(i')$ $(A, D (A))$ , opérateur fermé à domaine dense, vérifie $(0,+\infty) \subset \rho(A)$ et $\forall \lambda > 0 \; \|R_\lambda\| \leq \frac{1}{\lambda}$ .

Ainsi sous ces hypothèses et d'après le théorème 2 pour toute condition initiale $x_0 \in D(A)$ il existe une unique solution forte $t \mapsto x(t)$ dans $\mathcal{C}^0(\mathbb{R}^+,(D(A),||.||_{D(A)})) \bigcap \mathcal{C}^1(\mathbb{R}^{+*},(X,||.||_X))$ . Lorsque la condition initiale est prise quelconque dans $X$ on a une solution faible $t \mapsto x(t) = S(t)x$ de classe seulement $\mathcal{C}^0(\mathbb{R}^+,(X,||.||_X))$ ( et on montre que toute solution faible est limite dans $X$ de solutions fortes).

Régularité des solutions

On constate que la régularité de la solution est étroitement liée au choix de la condition initiale en fonction du domaine de A: il est donc naturel de penser qu'en imposant plus de "régularité" à $x 0$ on obtienne plus de régularité sur les solutions. Plus précisément on pose pour $k \geq 2$ $D(A^k)=\{x \in D(A^{k-1}), ~ Ax \in D(A^{k-1})\}$ . Alors on a le

Théorème 4: on peut munir les $D (A k)$ des normes $||x||_{D(A^k)}=\sum_{i=0}^k ||A^ix||$ pour lesquels ce sont des espaces de Banach. De plus si la condition initiale $x_0 \in D(A^k)$ alors la solution est de classe $\mathcal{C}^k(\mathbb{R}^{+*},X)$ et $\mathcal{C}^{k-i}(\mathbb{R}^{+*},D(A^i))$ pour $i = 1... k$ et au sens des topologies précédentes.

Exemples

L'équation de la chaleur

On se donne $Ω$ un ouvert borné de classe $\mathcal{C}^2$ de $\mathbb{R}^n$ et on cherche à résoudre l'équation de la chaleur $\begin{cases} \partial_t u(x,t) - \triangle u(x,t)=0 \\ u(x,0) = u_0(x) \end{cases}$ sur $(x,t)\in \Omega \times [0,+\infty]$ pour une condition initiale donnée. On peut réécrire cette EDP sous la forme d'une EDO $y'(t) = A y (t)$ en posant $X = H = L 2 (Ω)$ , $y(t)=u(.,t)\in H$ et en définissant $(A, D (A))$ par $D(A)=H^2(\Omega) \bigcap H^1_0(\Omega) \subset L^2(\Omega)$ et $Ax=\triangle x$ pour tout $x \in D(A)$ . Nous sommes dans le bon cadre pour utiliser la théorie des semi-groupes et le théorème de Hille-Yosida; reste à montrer que l'opérateur A est m-dissipatif. Il est bien connu que le laplacien est un opérateur autoadjoint (on a $<Au,v>_H=\int_{\Omega}(\triangle u)v = -\int_{\Omega}\nabla u . \nabla v=\int_{\Omega}u(\triangle v ) = <u,Av>_H$ par double intégration par parties) et que $D (A)$ est dense dans $L 2 (Ω)$ , il suffit donc de montrer qu'il est dissipatif ou de façon équivalente que $\mathfrak{Re}(<Ax,x>_H) \leq 0$ . Or tout $x \in D(A)=H^2(\Omega) \bigcap H^1_0(\Omega)$ est de trace nulle, donc en intégrant par parties $\mathfrak{Re}(<Ax,x>_H)=-\int_{\Omega}||\nabla x||^2_{\mathbb{R}^n} \leq 0$ . Le corollaire 3 et le théorème de Hille-Yosida permettent enfin de conclure quant à l'existence-unicité et la régularité des solutions. Remarquer que $\frac{d}{dt}\left(||y(t)||^2_H\right)=2<y'(t),y(t)>_H=2<Ay(t),y(t)>_H \leq 0$ : on retrouve bien sur le côté dissipatif et irréversible de l'équation de la chaleur.

L'équation des ondes

L'équation des ondes homogène se formule dans un domaine $Ω$ suffisamment régulier (c'est-à-dire $\mathcal{C}^2$ en pratique) et sur un intervalle de temps $[0, T)$ (avec $T > 0$ ) selon

$\left\{\begin{array}{rcll}u_{tt}(t,x) -\Delta u(t,x) & = & 0 & (0,T) \times \Omega\\ u(0,x) & = & f(x) & \Omega\\ u_{t}(0,x) & = & g(x) & \Omega \end{array}\right.$

On se place dans la théorie des semi-groupes en mettant l'équation précédente au premier ordre en temps. On pose alors $\mathcal{A} = \left(\begin{array}{cc} 0 & I \\ \Delta & 0 \end{array}\right)$ , $\mathcal{Y} = \left(\begin{array}{c} u \\ v \end{array}\right)$ (avec $v = u'$ ) et $\mathcal{Y}_0 = \left(\begin{array}{c} f \\ g \end{array}\right)$ l'équation devient alors $\left\{\begin{array}{rcll} \mathcal{Y}'(t) & = & \mathcal{A}\mathcal{Y}(t) \\ \mathcal{Y}(0) & = & \mathcal{Y}_0 \end{array}\right.$ .

Le domaine du Laplacien étant $D(\Delta) = H^2(\Omega) \cap H_0^1(\Omega)$ , celui de $\mathcal{A}$ est $D(\mathcal{A}) = H^2(\Omega) \cap H_0^1(\Omega) \times H_0^1(\Omega)$ sur $H = H_0^1(\Omega) \times H_0^1(\Omega)$ . Les conditions initiales seront alors prises dans $H$ .

Reste à vérifier que nous sommes bien dans les conditions d'application du théorème de Hille-Yosida :

$D(\mathcal{A})$ est dense dans $H$ .
$\mathcal{A}$ est fermé.
$\mathcal{A}$ est dissipatif. Ce point mérite une preuve : on utilise la caractérisation $(i')$ du théorème. Soient $λ > 0$ et $(f,g) \in H$ . L'équation résolvante s'écrit en $(u, v)$

$(*)\left\{ \begin{array}{rcl} \lambda u - v & = & f \\ \lambda v - \Delta u & = & g \end{array} \right.$ d'où $(λ 2 I - Δ) u = λ f + g$ qui admet une unique solution dans $u \in H^1_0(\Omega)$ via Lax-Milgram (car d'une part $λ 2 > 0$ et d'autre part les valeurs propres du Laplacien sont strictement négatives donc $(λ 2 I - Δ)$ est un opérateur elliptique dont la forme bilinéaire associée vérifie les hypothèses du théorème de Lax-Milgram). Et alors $v = λ u - f$ est dans $H_0^1(\Omega)$ .

L'estimation de l'opérateur résolvant $R λ$ vient du produit scalaire de $( * ) 2$ par $v$ en remplaçant $u$ par sa valeur dans $( * ) 1$ :

$\begin{array}{rcl} \lambda (\|v\|_{L^2(\Omega)} + \|\nabla u\|_{L^2(\Omega)}) & =& ( \nabla f,\nabla u)_{L^2(\Omega)} + (g, v)_{L^2(\Omega)} \\ & \leq & (\|g\|_{L^2(\Omega)}^2 + \|\nabla f\|_{L^2(\Omega)}^2)^{1/2}(\|v\|_{L^2(\Omega)}^2+\|\nabla u\|_{L^2(\Omega)}^2)^{1/2}. \end{array}$

D'où, puisque $(u, v) = R λ (f, g)$ , on obtient l'estimation attendue $\|R_\lambda\| \leq \frac{1}{\lambda}$ . Le semi-groupe engendré par $\mathcal{A}$ est donc un semi-groupe de contraction.

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