- Géométrie de Schwarzschild
-
La géométrie de Schwarzschild est définie par sa métrique. Pour l'obtenir, on peut résoudre les équations d'Einstein[1],[2] complètes en symétrie sphérique et en statique. Nous nous contenterons ici d'un calcul simplifié avec une métrique de Minkowski à l'infini, en appliquant le principe de correspondance et utilisant l'invariant de volume d'espace-temps d'Einstein[3], qui s'interprète à partir de la relativité restreinte où dilatation du temps et contraction de la longueur sont inverses l'une de l'autre.
L’équation générale de la métrique est exprimée sous forme diagonale car on peut toujours effectuer une rotation pour diagonaliser la matrice représentative de la métrique dans ses axes principaux :
Sommaire
Symétrie sphérique
L’espace est supposé homogène et isotrope, la solution doit être invariante dans une rotation. La rotation sur une sphère s'exprime, en fonction de la colatitude et de la longitude sous la forme :
Le rayon de la sphère ne variant pas, on peut multiplier par r2, ce qui donne la métrique
Les coefficients de la métrique gθθ et gφφ ne sont pas modifiés dans une rotation sur la sphère de rayon r.
Métrique statique
Les coefficients grr et gtt de la métrique doivent être indépendants du temps, c’est-à-dire que leurs dérivées partielles par rapport au temps doivent être nulles. Ils ne dépendent donc que de la distance r à l’astre :
Il n’y a donc pas d’ondes gravitationnelles dans ce modèle. La transmission des efforts y est instantanée selon la loi de l’action et de la réaction.
Métrique de Minkowski à l’infini
La métrique de Minkowski s’écrit en coordonnées sphériques :
On doit la retrouver à grande distance de la source de gravitation, c’est-à-dire à l’infini où on doit avoir grr = gtt = 1
Principe de correspondance
On doit retrouver la loi de l’attraction universelle de Newton lorsque vitesse et gravitation sont faibles. Cette condition va nous donner gtt grâce à une orbite circulaire dans un plan équatorial où ϑ = 0 donc aussi dϑ = 0. Le rayon étant constant, Dr = 0 le coefficient grr n’intervient pas. On obtient une métrique simplifiée, où grr n’apparaît pas
Sur la géodésique, le lagrangien formé à partir de la métrique est unitaire
où
et 
sont les dérivées du temps-coordonnée t et de l’angle de rotation ϕ par rapport à l’intervalle d’espace-temps s. Le chemin extrémal dans l'espace-temps s'obtient en résolvant l’équation de Lagrange en r :La vitesse (en fait la dérivée
de r par rapport à l'intervalle d'espace-temps s) n'apparaissant pas dans l'équation de Lagrange, le lagrangien se réduit àEffectuons la dérivation, puis L = 1 et
:
Après simplification on obtient l’équation :Pour trouver la métrique, on doit identifier cette équation avec son homologue newtonienne en exprimant l’égalité des accélérations de gravitation et centripète :
On obtient, en identifiant les deux relations précédentes :
Cette équation différentielle s’intègre en
où K est une constante d’intégration. On doit avoir gtt = 1 à l’infini pour retrouver la métrique de Minkowski, d’où K = 1. Le coefficient de d(ict)2 est donc :
Equation du déterminant
En relativité restreinte, la dilatation du temps est exactement l'inverse de la contraction de la longueur. On retrouve cette propriété en relativité générale en résolvant les équations d'Einstein d'une métrique statique. C'est la conservation du volume d'espace-temps d'Einstein où le déterminant de la métrique doit être égal à un. L’espace-temps se déforme sans changement de volume, la quatrième dimension étant la dimension spatiale représentée par le nombre imaginaire ict. Cette condition évite aussi que le déterminant ne devienne infini si gtt ou grr le devient. Cette « symétrie » gttgrr = 1 donne le second coefficient de la métrique :
Expression de la métrique de Schwarzschild
On a donc satisfait aux conditions fixées, ce qui permet d’écrire la métrique de façon complète et compatible avec les lois de la gravitation newtonienne :
On trouve aussi l’écriture suivante
où la vitesse de la lumière est c = 1 et où l’intervalle de temps propre dτ remplace l’élément de longueur ds. Parfois la lettre s est utilisée à la place de τ dans la relation précédente οù ds est un intervalle de temps et non un intervalle d’espace. Ces unités réduites ne permettent pas de faire des vérifications grâce aux équations aux dimensions ; il est préférable d’utiliser le système international SI.Nous avons obtenu la métrique de Schwarzschild par diverses considérations de symétrie et par la nécessité d’être en accord avec la loi de la gravitation de Newton pour les mouvements circulaire et radial. La déviation de la lumière par le Soleil et la précession du périhélie de Mercure se produisent dans de faibles champs de gravitation mais ne sont pas prévisibles par la mécanique newtonienne car la trajectoire du photon dévié par le Soleil comme celle de Mercure n'est ni rectiligne ni circulaire. Einstein avait obtenu ces résultats avant l'apparition de la métrique de Schwarzschild grâce à des approximations judicieuses. On trouvera une démonstration plus complète dans l'article "Métrique de Schwarzschild" et ailleurs[4].
La métrique de Schwarzschild, solution exacte des équations d'Einstein, remplace donc la loi de la gravitation universelle de Newton pour expliquer ces deux phénomènes.
Références
- [1] Schwarzschild, K,On the Gravitational Field of a Mass Point according to Einstein’s Theory, Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, Phys.-Math.Klasse 1916, 189-196
- Métrique de Schwarzschild
- Einstein, A, Balibar, F, Oeuvres choisies, Relativités I et II, Seuil / CNRS, 1999
- Bernard Schaeffer, Relativités et quanta clarifiés, Publibook, 2007
![\frac{\partial L}{\partial r}=\frac{-\frac{\partial g_{tt}}{\partial r}c^2\dot t^2+2r\dot \phi^2}{2\sqrt{-c^2g_{tt}\dot t^2+r^2\dot \phi^2}}=-\frac12\frac{\partial g_{tt}}{\partial r}c^2\dot t^2+2r\dot \phi^2=\left[-\frac12\frac{\partial g_{tt}}{\partial r}c^2+r \left(\frac{v}{r}\right)^2\right]\dot t^2](4/8249f5e0d9c87e3558672296e69be780.png)
Wikimedia Foundation. 2010.
