Groupe special unitaire

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En mathématiques, le groupe spécial unitaire de E, où E est un espace hermitien, est le groupe des automorphismes unitaires de E de déterminant 1, la loi de composition interne considérée étant la composition d’automorphismes. Il est noté SU(E). C’est un sous-groupe de U(E), le groupe unitaire des automorphismes de E.

Sommaire

Groupe spécial unitaire de degré n

Définition

Un cas particulier est le groupe spécial unitaire de degré n qui est le groupe des matrices unitaires à coefficients complexes de dimensions n×n et de déterminant 1, et que l’on note SU(n).

SU(n) est un groupe de Lie réel de dimension n²-1. Il est compact, simplement connexe et pour n>=2 simple et semi-simple.

L’algèbre de Lie correspondant à SU(n) est notée su(n). Il s’agit de l’algèbre des matrices complexes n×n antihermitiennes de trace nulle, le commutateur standard servant de crochet de Lie. C’est une algèbre réelle.

SU(2)

Le groupe SU(2) est isomorphe au groupe des quaternions unitaires (i.e. de norme égale à 1) et est donc identique à la sphère de dimension 3 (souvent notée S3). Comme les quaternions représentent les rotations dans l’espace à 3 dimensions, il existe un homorphisme surjectif de groupes de Lie SU(2) → SO(3,R) de noyau {+I,–I}.

Les matrices suivantes forment une base de su(2) :

i\sigma_x = \begin{bmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{bmatrix}
i\sigma_y = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}
i\sigma_z = \begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{bmatrix}

(où i est l’unité « imaginaire »)

Ces matrices (dites « matrices de Pauli ») sont souvent utilisées en mécanique quantique pour représenter le spin des particules.

Physique des particules et groupe spécial unitaire

Le groupe spécial unitaire possède une importance particulière en physique des particules. Si le groupe unitaire U(1) est le groupe de jauge de l'électromagnétisme, SU(2) est le groupe associé à l'interaction faible, et SU(3) celui de l'interaction forte. C'est par exemple grâce à la structure des représentations de SU(3) que Gell-Mann a conjecturé l'existence des quarks.

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